Comparison of WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin) and SWKB solutions of Fokker–Planck equations with exact results; application to electron thermalization

Abstract

A comparison of WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) and SWKB eigenfunctions of the Schrodinger equation for potentials in the class encountered in supersymmetric quantum mechanics is presented. The potentials that are studied are those that result from the transformation of a Fokker-Planck eigenvalue problem to a Schrodinger equation. Linear Fokker-Planck equations of the type considered in this paper give the probability distribution function for a large number of physical situations. The time-dependent solutions can be expressed as a sum of exponential terms with each term characterized by an eigenvalue of the Fokker-Planck operator. The specific Fokker-Planck operator considered is the one that describes the thermalization of electrons in the inert gases. The WKB and SWKB semiclassical approximations are compared with exact numerical results. Although the eigenvalues can be very close to the exact values, we find significant departures for the eigenfunctions.On presente une comparaison entre les fonctions propres WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) et SWKB de I'Cquation de Schrodinger pour des potentiels de la classe rencontrke en mkcanique quantique supersymitrique. Les potentiels qui sont CtudiCs sont ceux qui rksultent de la transformation d'un problhe Fokker-Plank de valeurs propres en une equation de Schrodinger. Les equations Fokker-Plank IinCaires du type considere dans cet article donne la fonction de distribution de probabilite pour un grand nombre de situations physiques. Les solutions dipendantes du temps peuvent Ctre exprimkes comme une somme de termes exponentiels dont chacun est caractCrist par une valeur propre de I'opCrateur Fokker-Plank. L'opCrateur Fokker-Plank spkcifique considCrC est celui qui dCcrit la thermalisation d'electrons dans les gaz inertes. Les approximations semiclassiques WKB et SWKB son! comparCes avec les rtsultats nurntriques exacts. Bien que les valeurs propres approximative~ se rapprochent beaucoup des valeurs exactes, nous trouvons des Ccarts significatifs.[Traduit par la redaction]Can. J . Phys. 69. 712 (1991)