Computation of the largest positive Lyapunov exponent using rounding mode and recursive least square algorithm

Peixoto, Márcia L. C.; Nepomuceno, Erivelton G.; Martins, Samir A. M.; Lacerda, Márcio J.

doi:10.1016/j.chaos.2018.04.032

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“…Mendes and Nepomuceno (2016) propuseram um método baseado no limite inferior do erro (LBE), introduzido pela primeira vez em Nepomuceno and Martins (2016), no qualé necessário somente as equações dinâmicas do sistema sob investigacão. Peixoto et al (2018) As técnicas recursivas para a estimação de parâmetros são muitoúteis (Machado et al, 2008). Quando os dados são medidos e disponibilizados sequencialmente, ou seja, a cada período de amostragem, um sistema qualquer de coleta de dados fornece medições correspondentes aquele instanteé necessário o uso de estimadores recursivos.…”

Section: Cálculo Do Lleunclassified

“…Uma das primeiras abordagens na investigação de sistemas caóticosé o discernimento se o sistemaé efetivamente caótico ou não. O cálculo do maior expoente de Lyapunov (LLE)é uma das técnicas mais empregadas no problema de detecção da presença de caos (Rosenstein et al, 1993;Peixoto et al, 2018). Além disso, o LLE pode ser explorado para detectar e controlarórbitas periódicas instáveis (Perc and Marhl, 2004) e adquirir informações importantes sobre a dinâmica do sistema.…”

Section: Introductionunclassified

“…No entanto, há limitações como a dificuldade de elaborar uma extensão intervalar natural e a complexa manipulação em algumas equações. Nesse sentido, a fim de suprir os problemas encontrados em Mendes and Nepomuceno (2016), Peixoto et al (2018) desenvolveram um trabalho no qual o modo de arredondamento, de acordo com o padrão IEEE 754-2008, foi aplicado em vez de utilizar extensões intervalares naturais para calcular o LLE. Nesse trabalho foi possível observar que os dois modos de arredondamento diferentes apresentam efeitos semelhantes quando produzidos por duas extensões intervalares.…”

Section: Introductionunclassified

“…Entretanto, nos resultados atingidos por Peixoto et al (2018), as diferenças de precisão proveniente da implementação finita do cálculo não foram levadas em conta Nepomuceno (2014); Nepomuceno et al (2017). Uma vez que os dados utilizados para o cálculo são computados com precisão finita, pode-se levantar dúvidas se a recursividade utilizada em Peixoto et al (2018) deveria assumir ponderações distintas ao longo de seu cálculo. Nesse sentido, esse trabalho objetiva investigar a perda de informações a cada interação.…”

Section: Introductionunclassified

“…A Figura 1(f)-(j) mostra o logaritmo natural do LBE e a linha ajustada para obter a inclinação queé o necessário para quantificar a caoticidade dos sistemas. Nesses gráficos foram usadas as mesmas condições iniciais utilizadas porPeixoto et al (2018).…”

unclassified

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Cálculo do maior expoente de Lyapunov usando estimador recursivo com fator variável

Sousa

Nepomuceno

Barroso

2019

Anais Do 14º Simpósio Brasileiro De Automação Inteligente

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Chaotic systems have been investigated in the most diverse areas. One of the first steps in chaotic system research is the detection of chaos. The largest Lyapunov exponent (LLE) is one of the most widely used techniques for this purpose. Recently, techniques for calculating LLE have been developed taking into account the error due to the finite precision of computers. Recursive methods were employed to improve such algorithms. However, this method uniformly weighed the data used to calculate the LLE. This paper investigates the different weighing of the data based on the hypothesis that the initial data have a higher precision than the last data processed by the algorithm, since the process is subject to error accumulation. In five tested systems, the proposed method obtained more accurate results in three. However, there was an increase in the variance of the result obtained for two of the evaluated systems. Resumo: Sistemas caóticos têm sido investigados nas mais diversasáreas. Uma das primeiras etapas na pesquisa em sistema caóticosé a detecção da presença de caos. O maior expoente de Lyapunov (LLE)é uma das técnicas mais empregadas para esse fim. Recentemente, técnicas para o cálculo do LLE tem sido desenvolvidas levando em conta o erro devido a precisão finita dos computadores. Métodos recursivos foram empregados para aprimorar tais algoritmos. Entretanto, tal método ponderou de modo uniforme os dados utilizados para o cálculo do LLE. Este trabalho investiga a ponderação diferenciada dos dados pautada na hipótese de que os dados iniciais possuem uma maior precisão do que osúltimos dados processados pelo algoritmo, uma vez que o processo está sujeito ao acúmulo do erro. Em cinco sistemas testados, o método proposto obteve resultados mais precisos em três. Entretanto, observou-se um aumento da variância do resultado obtido para dois dos sistemas avaliados.

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Section: Cálculo Do Lleunclassified

Section: Introductionunclassified

unclassified

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Cálculo do maior expoente de Lyapunov usando estimador recursivo com fator variável

Sousa

Nepomuceno

Barroso

2019

Anais Do 14º Simpósio Brasileiro De Automação Inteligente

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Robustness analysis of smart manufacturing information systems

Zhu,

Zheng

2024

Soft Comput

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Improving efficiency of the largest Lyapunov exponent’s estimation by its determination from the vector field properties

et al. 2020

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Controlling dynamics of nonlinear systems is one of the most important issues in science and engineering. Thus, there is continuous need to study and develop numerical algorithms of control methods. Among the most frequently applied invariants characterizing different aspects of a systems’ dynamics are Lyapunov exponents, fast Lyapunov index, angles of small deviations, fractal dimension or entropy. There exist many different methods of estimation of these indicators. In this paper, modification of our novel method is presented. We have shown that LLE can be estimated from the vector field properties by means of the most basic mathematical operations. Results of efficiency measurements for typical mechanical, electrical and random systems were discussed. We have proved that discussed modification introduced to our method makes the LLE estimation 17–53% faster than using classical algorithms. In addition, unlike the results presented in our previous publication, an improvement in performance was achieved for each of the analyzed cases. As such, the new approach lends to prospective application of LLE not only in dynamical systems' stability investigations, but also in real-time control of systems since the basic calculations and fast, effective method of LLE estimation can be applied even in simple microcontrollers. Our approach could be also applied in investigations of vector field properties, global stability or basins of attraction analyses, allowing for huge time savings.

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Computation of the largest positive Lyapunov exponent using rounding mode and recursive least square algorithm

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Cálculo do maior expoente de Lyapunov usando estimador recursivo com fator variável

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