Conjecture de Franchetta forte

Abstract

Soient Mg l'espace des modules (grossier) des courbes de genre g (g_-> 3), kg son corps de fonctions et egg la courbe universelle sur kg. A Franchetta a conjectur6 (voir [4]) que le groupe de Picard Pic(C~e) est engendr6 par la ctasse du diviseur canonique.Cette conjecture est maintenant d6montr6e (voir [1]) comme cons6quence de r6sultats topologiques de J. Harer (voir [10]) si g vaut au moins 5, et parce que la courbe canonique g6n6rale de genre 4 (resp. 3) est intersection compl6te d'une quadrique et d'une cubique de p3 (resp. est plane de degr6 4).On d6montre ici (Corollaire 4.7) ce qu'on appelle la conjecture deFranchetta forte c'est-h-dire que le groupe PiC%/k~(kg ) des points rationnels du schema de Picard PiC%/k~ de egg (d6fini en [9]) est engendr6 par la classe du diviseur canonique. Autrement dit, l'injection naturelle du groupe de Picard de c~g dans le groupe des classes rationelles de diviseurs de egg est un isomorphisine. Ce n'est pas toujours le cas, rappelons que si C est une vari6t6 de BrauerSeveri sur un corps k sans point rationnet sur k alors Pic(C)r (cf.[9]); on peut aussi trouver deux autres exemples (dont l'un est obtenu avec des courbes hypereUiptiques de genre impair) dans [13].Pour tout entier r, notons J" la Jacobienne de degr6 r de ~g c'est-~-dire la composante de degr6 r de Pi___~%,/~ . On sait (voir [14] et 4.7) que le point trivial est le seul point rationnel de jo et que Jg-1 n'a pas de point rationnel, pour d6montrer la conjecture de Franchetta forte, il suffit donc de d6montrer que si jr a un point rationnel alors g-1 divise r. C'est le Corollaire 4.5 du Th6or6me 4.4 off on d6montre que s'il existe sur J' un faisceau coh6rent ~ de caract6ristique d'Euler-Poincar6 X(~) 6gale ~ d, alors g-1 divise r d.Soit X un sch6ma projectif sur un corps k de caract6ristique nulle, pas forc6ment alg6briquement clos. L'ensemble des entiers d tels qu'il existe sur X un faisceau ~ avec X(~)=d engendre un sous groupe E de Z. Soit n l'entier naturel tel que E=nZ, on dira que nest le nombre d'Euler de X et on le notera eul(X). Tout le travail consiste ~ prouver que g-1 divise r x eul(J').Parce que le nombre d'Euler se comporte bien par sp6cialisation (voir 1.12), au lieu de travailler avec Mg, on se ram6ne ~ travailler avec une famiUe de

Progress in the theory of complex algebraic curves

“…This is essentially the content of Franchetta's theorem (or "folly," in the language of the introduction), which was recently proved through work of Mumford, Arbarello, and Cornalba [1987], using the topological work of Harer [1983], and refined by Mestrano [1987]. It says roughly that the only line bundles that can be chosen uniformly are the (positive and negative) tensor powers of the complex tangent bundle.…”

Gonality of modular curves in characteristic~$p$

“…So we may use a rational function whose divisor is the difference of two different canonical divisors. Equality holds for the general curve over the function field of the moduli space M g of genus-g curves in characteristic 0, since its only line sheaves are the powers of the canonical sheaf: this was the Franchetta conjecture, proved in [Har83] and strengthened in [Mes87]. (iv) Let P ∈ X(k).…”

The Picard Group of the Universal Abelian Variety and the Franchetta Conjecture for Abelian Varieties

“…Arbarello and Cornalba in [AC87] proved it over the complex numbers. Then Mestrano [Mes87] and Kouvidakis [Kou91] deduced over C the strong Franchetta conjecture, which says that the rational points of the Picard scheme P ic Cη are precisely the multiples of the cotangent bundle. Then Schröer [Sch03] proved both the conjectures over an algebraically closed field of arbitrary characteristic.…”