Conjuntos que determinan la acotación uniforme

Abstract

Dividiremos el resumen de esta Tesis en dos apartados: Antecedentes y resultados.Antecedentes. El clásico teorema de Nikodym (1933) nos dice que en cada subconjunto M de medidas numerablemente aditivas definidas en una σ-álgebra de conjuntos S que estén puntualmente acotadas en cada conjunto de S sucede que las medidas de M están uniformente acotadas en S, es decir, sup{|λ(A)| : λ ∈ M, A ∈ S} < ∞.La propiedad de que cada medida numerablemente aditiva definida en una σ-álgebra es acotada llevó a Dieudonné a demostrar en 1951 el teorema de Nikodym cuando M es un subconjunto de medidas acotadas y finitamente aditivas definidas en la σ-álgebra 2 Ω de todos los subconjuntos de un conjunto Ω.En 1954, Grothendieck extendió el teorema de Dieudonné a una σálgebra S de subconjuntos de un conjunto Ω. Este resultado general se conoce como Teorema de Nikodym-Dieudonné-Grothendieck.Un subconjunto B de un álgebra de conjuntos A tiene la propiedad de Nikodym, propiedad N en breve, si en cada subconjunto M de medidas acotadas, definidas en A, finitamente aditivas y puntualmente acotadas en B sucede que las medidas de M están uniformemente acotadas en A. El teorema de Nikodym-Dieudonné-Grothendieck nos dice pues que cualquier σ-álgebra S tiene la propiedad N .En 1979, Valdivia mejoró profundamente este resultado al demostrar que si (B m ) m es un cubrimiento creciente de una σ-álgebra de conjuntos S existe un B n que tiene la propiedad N .Un subconjunto B de un álgebra de conjuntos A tiene la propiedad v vi Resumen viii Resumen xiv Resum 1. ∅ ∈ S, ya que el abierto O := ∅ verifica que ∅\O y O\∅ son conjuntos de primera categoría, pues ∅\O = O\∅ = ∅.