Connexion de Gauss–Manin associée à la déformation verselle de la singularité Aμ et zéros de l'intégrale hyperelliptique

Abstract

Connexion de Gauß-Manin associéeà la déformation verselle de la singularité A µ et zéros de l'intégrale hyperelliptique. Susumu TANABÉ 1 Résumé-Onétudie le système deséquations differéntielles satisfaites par l'intégrale hyperelliptique associée au cycle γ s ⊂ {(x, y) ∈ R 2 : H(x, y; s) = 0} définie pour la déformation verselle de la singularité A µ. Comme application, on obtient une estimation de la multiplicité des zéros de l'intégrale I ω (s) = γs ω en fonction de µ et de deg(ω).

Système des coordonnées plates de la déformation verselle des singularités isolées simples d'hypersurface et zéros de l'intégrale d'Abel

“…C'est une demarche vers une reponse raisonnable au XVIe problème de Hilbert sur le nombre des cycles limites. Dans un travail précedent [7], nous avonsétabli une estimation de la multiplicité des zéros de l'intégrale hyperelliptique associéeà la singularité A µ , en se servant du système de Gauß-Manin satisfait par l'intégrale hyperelliptique. La stratégie de cette note est semblableà celle de [7], pourtant la tactique en diffère au sens que nous utilisons ici l'expression du système de Gauß-Manin au moyen des coordonnées plates introduites par [6].…”

“…Dans un travail précedent [7], nous avonsétabli une estimation de la multiplicité des zéros de l'intégrale hyperelliptique associéeà la singularité A µ , en se servant du système de Gauß-Manin satisfait par l'intégrale hyperelliptique. La stratégie de cette note est semblableà celle de [7], pourtant la tactique en diffère au sens que nous utilisons ici l'expression du système de Gauß-Manin au moyen des coordonnées plates introduites par [6]. Dans [6], les coordonnées plates (flat coordinates) ont eté introduites comme les invariants canoniques d'un groupe de Coxeter fini irreductible qui satisfont certaines conditions naturelles.…”

“…Notre demarche s'appuie sur un résultat de [5] qui est formulé au Théorème 2.1. Ce résultat nous permet d'exprimer avec les coordonnées plates, le système de de Gauß-Manin associéà la déformation verselle des singularités isolées simples d'hypersurfaces, d'une façon plus simple que l'expression du système par les coordonnées usuelles de l'espace de déformation verselle (voir [7] avec P (x, y), Q(x, y) des polynômes de degré au plus K i.e.P (x, y) = 0≤i+j≤K P i,j x i y j , Q(x, y) = 0≤i+j≤K Q i,j x i y j . doit satisfaireà chaque point s ∈ U l'inégalité suivante:…”