Contribution à la théorie logistique de la croissance : structure temporelle et potentiel de croissance

Abstract

L'analyse d'une population structurée à trois états cellulaires (juvénile, mature, sénescent) est conduite dans le cadre de la théorie des systèmes de transformation de Delattre. La croissance en nombre, avec dissymétrie des divisions cellulaires, est rapportée à un processus d'autocatalyse sous la contrainte de disponibilité d'une source. Deux modèles sont présentés dont la dynamique aboutit à une croissance de type exponentiel ou de type sigmoïde. Dans le cas sigmoïde, la fonction logistique (fonction de Richards-Nelder avec adjonction d'une asymptote inférieure Y = 0) s'ajuste convenablement aux données simulées de l'effectif cellulaire total Y . Nous définissons un potentiel de croissance comme la capacité instantanée d'autocatalyse que l'on exprime en fonction des « ressources mitotiques » actuelles (source + cellules matures n'entrant pas en sénescence). Les variations de l'accélération d 2 Y/dt 2 concordent exactement avec le gradient du potentiel de croissance. Cette analyse se généralise à d'autres structurations de population. D'où notre proposition d'interpréter l'équation logistique comme un modèle formel de croissance d'une population structurée soumise à autocatalyse + compétition.

Sur la notion de limite interne et externe dans les fonctions de croissance monotones. Une reformulation de l'équation logistique

“…The autocatalytic model (model II, Buis, 2003) [3] is used here in the following simple case: (i) three categories of cells (classes of functional equivalence): juvenile C 1 , mature C 2 (the only cells that are able to divide), senescing or differentiated C 3 ; (ii) asymmetry of cell divisions: C 2 → C 1 + C 2 . Two modalities are considered in relation with the nature of growth limitation.…”

“…Nous modifierons en conséquence les classes d'équivalence fonctionnelle et le graphe des transformations (Fig. 1) ainsi que les équations de notre modèle précédent [3]. Pour simplifier, nous ferons abstraction de la source S, qui n'est plus ici une variable sujette à déplétion.…”

“…L'idée de structuration [2] est de portée très générale, ne s'appliquant pas seulement à une population d'individus ou de cellules, mais aussi à des entités diverses, telles qu'un organe ou un organisme consi-déré comme un ensemble unitaire de différents éléments physiquement associés. Sur la base de notre précédente analyse de la croissance de populations cellulaires structurées [3] selon le formalisme général des systèmes de transformation de Delattre [4], nous nous proposons un examen de cette notion de limite, d'une part en vue d'une interprétation améliorée de la logistique, archétype des modèles globaux, et d'autre part en distinguant les deux cas de limitation externe et de limitation interne.…”