Convergence of the Discrete-Time Compound Hawkes Processwith Exponential or Erlang Kernel

Abstract

Due to its clustering and self-exciting properties, the Hawkes process has been used extensively in numerous fields ranging from sismology to finance. Since data is often aquired on regular time intervals, we propose a piece-wise constant model based on a Discrete-Time Hawkes Process (DTHP). We prove that this discretetime model converges to the usual continuous-time Hawkes process as the time-step tends to zero. RésuméLes propriétés d'auto-excitation des processus de Hawkes permettent une alternative de modélisation efficace au processus de Poisson à intensité déterministe dans plusieurs domaines d'application comme la finance ou la sismologie. Dans certaines applications, l'accès aux données se fait à des dates déterministes et non de façon continue dans le temps. Ainsi, seulement une approximation à temps discret du processus de Hawkes sur une grille déterministe est observable. Dans cet article nous étudions la convergence de cette approximation à temps discret lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro.