Convex affine domains and Markus conjecture

Jo, Kyeonghee; Ким, Инканг

doi:10.1007/s00209-004-0659-7

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“…Until now, the only known results about Markus conjecture rely on strong conditions on the holonomy: abelian [Smi77], nilpotent [FGH81], solvable [GH86] and distal [Fri86]. There are also results requiring a Kleinian-type geometric hypothesis [JK04;Tho15]. An important case comes from Carrière [Car89] under the hypothesis of 1-discompacity.…”

Section: Markus Conjecturementioning

confidence: 99%

Closed ray affine manifolds

Alexandre

2021

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We consider closed manifolds that possess a so called rank one ray structure. That is a (flat) affine structure such that the linear part is given by the products of a diagonal transformation and a commuting rotation.We show that closed manifolds with a rank one ray structure are either complete or their developing map is a cover onto the complement of an affine subspace. This result extends the geometric picture given by Fried on closed similarity manifolds.We prove, in the line of Markus conjecture, that if the rank one ray geometry has parallel volume, then closed manifolds are necessarily complete. Finally, we show that the automorphism group of a closed manifold acts non properly when the manifold is complete.

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Section: Markus Conjecturementioning

confidence: 99%

Closed ray affine manifolds

Alexandre

2021

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“…Théorème (Jo, Kim, [18]). -Soit M une variété affine compacte de la forme Γ\Ω, où Ω est un ouvert convexe strictement inclus dans R d et Γ un groupe discret de transformations affines.…”

Section: Annales De L'institut Fourierunclassified

Sur la complétude de certaines variétés pseudo-riemanniennes localement symétriques

Tholozan¹

2015

Ann. inst. Fourier

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Nous prouvons que certains espaces pseudo-riemanniens symétriques n'admettent pas d'ouvert strict divisible par l'action d'un groupe discret d'isométries. Autrement dit, si une variété pseudo-riemannienne compacte est localement isométrique à un tel espace, et si son application développante est injective, alors la variété est géodésiquement complète, et donc isométrique à un quotient de l'espace modèle tout entier. Ces résultats étendent, sous une hypothèse supplémentaire (l'injectivité de l'application développante), les théorèmes de Carrière et Klingler selon lesquels les variétés lorentziennes compactes de courbure constante sont géodésiquement complètes. Abstract (Completeness of some semi-riemannian locally symetric manifolds)We prove that some symetric semi-riemannian manifolds do not admit a proper domain which is divisible by the action of a discrete group of isometries. In other words, if a closed semi-riemannian manifold is locally isometric to such a model, and if its developing map is injective, then the manifold is actually geodesically complete, and therefore isometric to a quotient of the whole model space. Those results extend, under additional hypothesis (the injectivity of the developing map), the theorems of Carrière and Klingler stating that closed lorentz manifolds of constant curvature are geodesically complete.Introduction. -Soit X une variété lisse munie d'une action transitive d'un groupe de Lie G de dimension finie. Une variété M est dite localement modelée sur X lorsqu'elle est munie d'un atlas de cartes à valeurs dans X dont les changements de cartes sont des restrictions de transformations de G. On dit aussi que M est munie d'une (G, X)-structure, ou encore que M est une (G, X)-variété, selon la terminologie de Thurston (voir section 1). Certaines (G, X)-variétés apparaissent naturellement lorsque M possède une structure géométrique rigide localement homogène. Par exemple, une variété munie d'une métrique riemannienne plate est localement modelée sur l'espace euclidien. Il existe de même une notion de métrique lorentzienne de courbure nulle (voir par exemple [30], p.63), et les variétés munies de telles métriques Les premières (celles de courbure nulle) sont localement modelées sur C 3 , muni de l'action affine complexe du groupe SO(3, C) ⋉ C 3 . Quant aux secondes (celles de courbure constante non nulle), elles sont localement modelées sur SL(2, C) muni de l'action de SL(2, C) × SL(2, C) par translations à gauche et à droite. Il n'existe malheureusement pas d'analogue holomorphe des théorèmes de Carrière et Klingler, ce qui constitue le principal obstacle à une classification topologique des 3-variétés complexes compactes possédant des métriques riemanniennes holomorphes. Nous prouvons toutefois ici deux résultats qui étendent partiellement les théorèmes de Carrière et Klingler au contexte holomorphe. Théorème 2. Toutes les (SO(3, C) ⋉ C 3 , C 3 )-variétés kleiniennes compactes sont complètes. (Le groupe SO(3, C) ⋉ C 3 désigne le groupe des transformations affines complexes de C 3 d...

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On the Markus conjecture in convex case

Ким

2021

Ann Glob Anal Geom

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Convex affine domains and Markus conjecture

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Closed ray affine manifolds

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Sur la complétude de certaines variétés pseudo-riemanniennes localement symétriques

On the Markus conjecture in convex case

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