Coordinating Visual and Analytic Strategies: A Study of Students' Understanding of the Group D4

Abstract

This study contributes to the ongoing discussion of visualization and analysis in mathematical thinking. On the basis of data gathered from clinical interviews with 32 students in their first abstract algebra course, we consider the tasks of listing the elements of the dihedral group D4 and finding the product of two such elements. These problems can be solved either using a “visual” approach of transforming a square or an “analytic” approach of multiplying permutations. Rather than clearly preferring either a visual or analytic strategy, most students in our study used some combination of these approaches. Our results suggest that the conventional analyzer/visualizer dichotomy may not be an appropriate classification scheme for describing learning processes or for designing instruction. We propose an alternative model, the Visualizer/Analyzer or VA model, that assumes visualization and analysis to be mutually dependent in mathematical problem solving, rather than unrelated opposites. Our model provides one description of how this mutual dependence might function. We end by considering how pedagogical approaches might be designed in consonance with this model to help students coordinate visual and analytic thinking.

How abstract is symbolic thought?

“…Most research into formal symbolic reasoning emphasizes the abstract and arbitrary quality of formal symbol systems (Fodor, 1975; Gentner, 2003; Harnad, 1990; Haugeland, 1985; Jackendoff, 1983; Markman & Dietrich, 2000a, 2000b; Sloman, 1996). Symbolic reasoning is proposed to depend on internal structural rules, which do not relate to explicit external forms (e.g., Harnad, 1990; Markman & Dietrich, 2000a, 2000b; this perspective is also taken specifically with regard to notational mathematics in Stylianou, 2002; Zazkis, Dubinsky, & Dautermann, 1996). Mathematical and especially algebraic reasoning is often taken to be the paradigmatic case of pure symbolic reasoning, and to rely for its successful execution on the use of internally available formal operations (Inhelder & Piaget, 1958).…”

Penggunaan Kaedah Visualisasi terhadap Pencapaian Matematik Pelajar: Sorotan Literatur Bersistematik

“…Menurut Sabah dan Hamda (2021), mendefinisikan visual adalah aktiviti mental dan kemahiran yang membantu seseorang untuk memperoleh maklumat, mentafsir maklumat yang diterima. Menurut Zazkis et al (1996), mendefinisikan visualisasi sebagai "tindakan membuat perkaitan yang kukuh antara apa yang diperolehi individu melalui konsep dalaman dan apa yang diperolehinya melalui deria". Telah dinyatakan bahawa proses visualisasi ini boleh direalisasikan apabila seseorang memvisualisasikan objek atau peristiwa yang dikenalinya dalam kehidupan sebenar atau memindahkan struktur yang dibayangkannya dengan menggunakan komputer, papan atau sekeping kertas ke dalam dunia fizikal.…”

Reka Bentuk Pembangunan Prototaip Perisian Pembelajaran Matematik VATrans yang Berasaskan Penggabungan Pemikiran Visualisasi dan Analisis

“…Secara spesifik, khususnya dalam beberapa topik matematik, proses pembelajaran ini memerlukan pelajar melakukan aktiviti mental melibatkan proses mencari, membina dan mengaplikasi perhubungan atau perkaitan secara logik serta membentuk kefahaman intuitif mengenai sesuatu konsep. Ramai ahli psikologi matematik berpendapat bahawa proses ini amat berkait rapat dengan dua jenis pemikiran matematik yang dinamakan Visualisasi dan Analisis (lihat misalnya Krustetkii, 1976;Eisenburg & Dreyfus, 1991;Zazkis et al, 1996). Mereka juga mengatakan bahawa keupayaan pelajar mengamalkan kedua-dua jenis pemikiran ini secara bergabung adalah adalah penting dalam proses pembelajaran matematik (lihat misalnya Krustetkii, 1976;Artigue, 1996;Zaleha Ismail, 1997;Eisenburg & Dreyfus, 1991;Zazkis et al, 1996;Tan Wee Chuen, 2000).…”

“…Ramai ahli psikologi matematik berpendapat bahawa proses ini amat berkait rapat dengan dua jenis pemikiran matematik yang dinamakan Visualisasi dan Analisis (lihat misalnya Krustetkii, 1976;Eisenburg & Dreyfus, 1991;Zazkis et al, 1996). Mereka juga mengatakan bahawa keupayaan pelajar mengamalkan kedua-dua jenis pemikiran ini secara bergabung adalah adalah penting dalam proses pembelajaran matematik (lihat misalnya Krustetkii, 1976;Artigue, 1996;Zaleha Ismail, 1997;Eisenburg & Dreyfus, 1991;Zazkis et al, 1996;Tan Wee Chuen, 2000).…”

“…Kedua-dua jenis pemikiran (atau sifat kecenderungan) ini penting dalam menghasilkan proses pembelajaran matematik yang bermakna. Kedua-dua jenis pemikiran ini dijelaskan secara terperinci (walaupun dengan terminologi yang berlainan) oleh beberapa ahli psikologi matematik lain seperti Krustetkii (1976), Eisenburg & Dreyfus (1991) dan Zazkis et al (1996).…”