Countability Properties of Some Berkovich Spaces

Abstract

Introduction 1 2. Riemann-Zariski spaces 3 3. Countability properties in Riemann-Zariski spaces 5 4. Proof of the main results 8 References 11

Les espaces de Berkovich sont angéliques

“…Nous remercions très chaleureusement Charles Favre qui nous a posé les questions à l'origine de ce texte et nous a communiqué sa prépublication [12] sur le même sujet. Ses remarques sur le texte nous ont apporté une aide certaine et nous ont amené à éclaircir plusieurs points.…”

“…Signalons que ces résultats ont été obtenus par C. Favre dans [12] lorsque le corps de base est un corps de séries de Laurent. Nous nous affranchissons ici de cette hypothèse.…”

Affine schemes and topological closures in the Zariski–Riemann space of valuation rings

“…Thus every valuation ring in cl(Z) ∩ gen(Z) is a limit of a (countable) sequence of valuation rings in Z. It follows also from [14,Lemma 2.4] that in the terminology of Remark 3.9(1), every valuation ring in cl(Z) ∩ gen(Z) is an ultrafilter limit of countably many valuation rings in Z.…”

An extremal subharmonic function in non-archimedean potential theory

“…On the other hand, for the fields C p , p prime (which are separable; see discussion before Corollary 1.20 in [3]), such a countable base exist. For some results related to countability of the topologies on P 1 see [8] and [12]. The second countability of the Berkovich topology allows us to apply the following lemma: Lemma 3.1.…”