Counting Geometric Points on Families of Abelian Varieties

Abstract

The fundamental problem in Diophantine geometry is, given a variety V defined over a number field k, to describe the set of k-rational points on V In this paper we consider a family of abelian varieties z : Y --f T parametrized by a curve T In particular, our results apply to the case where Vis an elliptic surface. A point lying on the image of a section of this family is called a geometric point. We count the number of geometric points on Vas a function of their height in two ways: first, by using canonical heights on the special fibers of Yand, second, by choosing a Weil height on a completion of K Our strategy is to estimate the height of a geometric point in terms of the height of the section on which it lies (considered as a point on the generic fiber of n : V + T ) and the height of the point on the base curve above which it lies. To derive the key estimates needed for our counting results, we extend the theorems of TATE [20], LANG [Ill and GREEN [7], which describe how the canonical height of a geometric point varies in terms of a height function on the base.We will now outline the contents of the paper in more detail. Let T be a smooth projective curve defined over the number field k. Put K = k ( T ) and let A be an abelian variety over the function field K. Let d / T b e the NCron model of A over K, and let r denote the group of sections of d / T Recall that, by the definition of the Ntron model, every point P A E A(K) extends to a section P: T --f d, so r is naturally isomorphic to A(K). By the Lang-Neron theorem (Cf. [ll], Chapter 6), if (B, z) is the K/k-trace of A, then the quotient group A(K)/zB(k) is finitely generated. Thus we will fix a subgroup A of r such that A injects into A(K)/zB(k). Note that if dim A = 1 and the j-invariant of A is transcendental over k, then .rB(k) = 0 and we may simply take A = r.The image of each section P E A is a curve on d whose points are, by definition, geometric.Taking all the sections in A, we define the set of k-rational geometric points on d determined by A to be Ageo(k) = {Pt E d ( k ) : P E A and t E T(k)} .

Sur la répartition des points rationnels de surfaces elliptiques

“…Au Paragraphe 2, nous démontrons et commentons le Théorème A. Nous établissons le Théorème B au Paragraphe 3, et verrons que l'on peut supprimer l'hypothèse de "l'existence d'une bonne compactification" du modèle de Néron du Théorème III de [7]. Au Paragraphe 4, nous étudions la densité des points de divisibilité de S par rapport aux points rationnels de S, ce qui nous permettra de démontrer: …”

“…Sur $, nous n'avons que le Théorème 2.6 de Masser [16]. [7] pour cette notion). Mais pour ce dernier, il a eu besoin de l'hypothèse de "l'existence d'une bonne compactification" du modèle de Néron de Vk(T) sur k(T) (cf.…”

“…Par notre méthode de comptage, il est possible de supprimer l'hypothèse de "l'exi¬ stence d'une bonne compactification" du modèle de Néron du Théorème III de [7]. (note: même si Call ne l'a pas écrit, sa méthode de comptage sous l'hypothèse de "l'existence d'une bonne compactification" du modèle de Néron de Vk(T), donne une estimation du même type que celle ci-dessus).…”

“…Nous proposons, dans un premier temps, de généraliser les résultats de [7] aux sur¬ faces fibrées en courbes elliptiques.…”

“…D'autre part, nous verrons que la technique de comptage employée permet de sup¬ primer l'hypothèse de "l'existence d'une bonne compactification" du modèle de Néron d'un des théorèmes de [7].…”