Covers for Self-dual Supercuspidal Representations of the Siegel Levi Subgroup of Classical p-adic Groups

Abstract

We study components of the Bernstein category for a p-adic classical group (with p odd) with inertial support a self-dual positive level supercuspidal representation of a Siegel Levi subgroup. More precisely, we use the method of covers to construct a Bushnell-Kutzko type for such a component. A detailed knowledge of the Hecke algebra of the type should have number-theoretic implications.

Représentation de Weil et \beta -extensions

“…Dans un groupe classique plus général et pour une représentation induite de la forme ci-dessus, la construction d'une paire couvrante (i) a été effectuée dans certains cas particuliers : le sous-groupe de Levi de Siegel d'un groupe symplectique dans [2], le sous-groupe de Levi de Siegel d'un groupe classique dans [10] où la structure théorique de l'algèbre de Hecke (ii) est déterminée, une représentation supercuspidale autoduale de niveau zéro du Levi de Siegel d'un groupe symplectique ou spécial orthogonal dans [13] qui donne en outre l'étude de réductibilité (iii). Plus généralement, des paires couvrantes accompagnées de la structure théorique de l'algèbre de Hecke associée sont fournies par [21], sous des hypothèses assez larges, en particulier celles du paragraphe 3.1 ci-dessous, que nous supposerons vérifiées dans la suite de cette introduction : il s'agit essentiellement de demander que π et σ soient attachées à des strates suffisamment "disjointes" du point de vue de la théorie des types et à des caractères semi-simples compatibles (cf.…”

“…Grâce au lemme 3.1, qui reste valide pour ps 1 et ps 1 , et aux résultats de loc. cit., il suffit de montrer que les éléments de H(G, λ P ) de support J P ps 1 J P et J P ps 1 J P sont inversibles, ce que l'on peut faire comme dans [10] §2.2 (en vérifiant que les démonstrations des lemmes 2.10 et 2.13 s'appliquent mot pour mot) ou en passant directement aux énoncés plus précis ci-après.…”

Endoscopic classification of very cuspidal representations of quasi-split unramified unitary groups

“…• | det | s , a parabolically induced representation of U 2n• from the Siegel parabolic containing the Levi isomorphic to GL n• . This kind of parabolically induced representations is previously studied in [Gol93], [Gol94], [MR99] for unitary groups, in [Sha92], [MR98] for split classical groups, and in [GKS07] for general classical groups using the theory of covering types.…”

The supercuspidal representations of p-adic classical groups

“…Then it is straightforward that (J o P , ϑ P ) is a cover of (J o P ∩ M ′ , ϑ P | J o P ∩M ′ ) (see §7.2.1). (ii) Otherwise every component of ρ is fixed by the involution and we use an idea of Kutzko (which was also used in [16]). If Λ M is a lattice sequence such that P(Λ M o E ) is a maximal compact subgroup of G E containing P(Λ o E ) then, thinking of ρ as a representation of P(Λ o E ), we get a support-preserving injection of Hecke algebras (see (7.3))…”

“…Secondly, there still remains the problem of constructing types for the non-supercuspidal components of the Bernstein spectrum. Types have been constructed in certain special cases: see [3] and [16], where types are constructed for self-dual supercuspidal representations of the Siegel Levi subgroup; and [4], where (sometimes putative) covers in smaller symplectic groups are "propagated" to larger ones -note that our work here shows that the hypothesis (H4) of [4] can always be satisfied. There are also some results in this direction in [14], where it is shown that any smooth irreducible representation of G contains some (suitably generalized) semisimple character.…”