Darboux and Binary Darboux Transformations for Discrete Integrable Systems. II. Discrete Potential mKdV Equation

Shi, Ying; Nimmo, J. J. C.; Zhao, Jize

doi:10.3842/sigma.2017.036

Cited by 6 publications

(11 citation statements)

References 27 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…On the other hand, it is believed that discrete integrable systems are more fundamental and universal than continuous ones. Starting from the discrete Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation, or the so-called Hirota-Miwa (HW) equation [31,32] , Shi et al have derived discrete KdV equation and discrete potential mKdV equation, as well as their Lax pairs and multi-soliton solutions [33,34] . The authors have done a series of work in finding integrable discretizations of soliton equations such as the short pulse equation [35,36] , (2+1)-dimensional Zakharov equation [37] , the Camassa-Holm equation [38,39] and the Degasperis-Proceli equaiton [40] .…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

An integrable semi-discretization of the modified Camassa-Holm equation with linear dispersion term

Sheng¹,

Yu²,

Feng³

2021

Preprint

View full text Add to dashboard Cite

In the present paper, we are concerned with integrable discretization of a modified Camassa-Holm equation with linear dispersion term. The key of the construction is the semi-discrete analogue for a set of bilinear equations of the modified Camassa-Holm equation. Firstly, we show that these bilinear equations and their determinant solutions either in Gram-type or Casorati-type can be reduced from the discrete KP equation through Miwa transformation. Then, by scrutinizing the reduction process, we obtain a set of semi-discrete bilinear equations and their general soliton solution in Gram-type or Casorati-type determinant form. Finally, by defining dependent variables and discrete hodograph transformations, we are able to derive an integrable semi-discrete analogue of the modified Camassa-Holm equation. It is also shown that the semi-discrete modified Camassa-Holm equation converges to the continuous one in the continuum limit.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

An integrable semi-discretization of the modified Camassa-Holm equation with linear dispersion term

Sheng¹,

Yu²,

Feng³

2021

Preprint

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…It is commonly known that the continuous KP hierarchy can be reduced to all those well-known two-dimensional soliton hierarchies associated with their linear equations [5]. In fact, the HM equation also plays a role as a master model in the discrete systems, since many two-dimensional discrete integrable equations such as the discrete Korteweg-de Vries (KdV) type, Boussinesq (BSQ) type, etc., can be obtained from the HM equation by taking reductions [6][7][8]. This means that many things can be inherited, such as Lax pair, Darboux transformations, exact solutions, etc., from the HM equation.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$ graded discrete integrable systems and Darboux transformations

Shi¹

2020

J. Phys. A: Math. Theor.

View full text Add to dashboard Cite

We present the Darboux transformations for a novel class of two-dimensional discrete integrable systems named as Z N graded discrete integrable systems, which were firstly proposed by Fordy and Xenitidis within the framework of Z N graded discrete Lax pairs very recently. In this paper, the Z N graded discrete equations in coprime case and their corresponding Lax pairs are derived from the discrete Gel'fand-Dikii hierarchy by applying a transformation of the independent variables. The construction of the Darboux tranformations is realised by considering the associated linear problems in the bilinear formalism for the Z N graded lattice equations. We show that all these Z N graded equations share a unified solution structure in our scheme.Key words and phrases. Z N discrete integrable system, Darboux transformations, tau function, discrete Gel'fand-Dikii hierarchy.1 Apart from the nonlinear forms given here, there also exist other nonlinear forms in the discrete KP family such as the discrete Schwarzian KP equation [24], the (2+1)-dimensional Nijhoff-Quispel-Capel (NQC) equation [25], and the various nonpotential versions of the discrete KP equations, see [26][27][28].

show abstract

“…Отметим существование аналогичных результатов для солитонных решений некоторых дискретных уравнений типа КдФ (см. статьи [25]- [27]). В работе [25] на основе прямых вычислений были построены ПД для дискретного уравнения Шредингера (2.1).…”

unclassified

“…Однако преобразования Дарбу, полученные в [25], имеют несимметричный вид, и эти преобразования нельзя непосредственно связать со свойством трехмерной совместности (соответствующие формулы Крама фактически были получены для решения полудискретного уравнения КдФ). Использованный в работах [26], [27] метод вывода рпКдФ и рпмКдФ (а также солитонных решений) основан на редукции систем КП и соответствующих ПД. Однако в рассмотренных в [26], [27] выражениях для солитонных решений нужна дополнительная непрерывная переменная, поскольку уравнение рпКдФ получено как редукция полудискретной версии потенцированного уравнения КП (см.…”

unclassified

“…Использованный в работах [26], [27] метод вывода рпКдФ и рпмКдФ (а также солитонных решений) основан на редукции систем КП и соответствующих ПД. Однако в рассмотренных в [26], [27] выражениях для солитонных решений нужна дополнительная непрерывная переменная, поскольку уравнение рпКдФ получено как редукция полудискретной версии потенцированного уравнения КП (см. замечание 3.3).…”

unclassified

See 1 more Smart Citation

Discrete Crum's theorems and lattice KdV-type equations

Чжан

Zhang

Пэн

et al. 2020

TMF

View full text Add to dashboard Cite

Получены преобразования Дарбу и связанные с ними формулы Крама для двух разностных уравнений типа уравнения Шредингера, которые сами являются дискретными версиями спектральных задач для уравнений КдФ и модифицированных уравнений КдФ. Если рассматривать преобразования Дарбу как процесс дискретизации, то возникают классы полудискретных и полностью дискретных систем уравнений типа КдФ, включая решеточные версии потенцированного уравнения КдФ, потенцированного модифицированного уравнения КдФ и уравнения КдФ с шварцианом, как условия совместности дифференциальных/разностных спектральных задач и их преобразований Дарбу. Признаки интегрируемости фундаментальных решеточных моделей, такие как пара Лакса, многомерная совместность, $\tau$-функции и солитонные решения, можно легко получить в результате непосредственного применения дискретных формул Крама.

show abstract

Darboux and Binary Darboux Transformations for Discrete Integrable Systems. II. Discrete Potential mKdV Equation

Cited by 6 publications

References 27 publications

An integrable semi-discretization of the modified Camassa-Holm equation with linear dispersion term

An integrable semi-discretization of the modified Camassa-Holm equation with linear dispersion term

$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$ graded discrete integrable systems and Darboux transformations

Discrete Crum's theorems and lattice KdV-type equations

Contact Info

Product

Resources

About