Degenerate Volterra Equations of Convolution Type in Banach Spaces and Their Applications

Abstract

Изучен вопрос однозначной разрешимости линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в банаховых простран-ствах с необратимым оператором в главной части. Операторнозначное ядро имеет специальный вид K(t, s) = g(t -s)A, где g = g(t) -числовая функция, A -линейный оператор. Именно в такой форме эти уравнения часто встреча-ются в приложениях. Для их исследования становится возможным приме-нение структурной теории пучков двух линейных операторов, которая в на-стоящее время наиболее полно разработана Г.А. Свиридюком и его учени-ками. Еще одна особенность изучаемых в данной работе задач состоит в на-личии у функции g = g(t) кратного нуля в точке t = 0. В предположении спектральной ограниченности оператора A относительно вырожденной главной части уравнений построены фундаментальные оператор-функции соответствующих интегральных и интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах. На этой основе доказаны теоремы существова-ния и единственности решений рассматриваемых задач в классе распреде-лений с ограниченным слева носителем. Установлена зависимость порядка сингулярности обобщенных решений от кратности нуля интегрального яд-ра в начальной точке. Получены условия, при которых обобщенные реше-ния совпадают с классическими. Теоремы, сформулированные для абст-рактных уравнений, применены к исследованию содержательных началь-но-краевых задач, возникающих в физике плазмы и математической тео-рии упругости.Ключевые слова: относительная спектральная ограниченность линейного оператора; распределение; фундаментальная оператор-функция. ВведениеТеория интегральных уравнений в абстрактных пространствах представляет интерес при-мерно с 60-х годов прошлого столетия. Этой тематике посвящена обширная библиография (см. монографии к исследованию этой задачи впервые применен аппарат обобщенных функций со значениями в банаховых пространст-вах, ее однозначная разрешимость в классе распределений с ограниченным слева носителем до-казана в [17] с помощью конструкции фундаментальной оператор-функции. В этих работах есте-ственным образом возникала задача о построении обобщенного жорданова набора оператора B