Degree two ergodic theorem for divergence-free stationary random fields

Abstract

International audienceWe prove the ergodic theorem for surface integrals of divergence-free stationary random fields of ℝ3. Mean convergence in $$ \mathbb{L}^p $$ spaces takes place as soon as the field is $$ \mathbb{L}^p $$ -integrable. The condition of integrability for the pointwise convergence is expressed by a Lorentz norm. This theorem is an ergodic theorem for cocycles of degree 2, analogous to the ergodic theorem for cocycles of degree 1 proved in [1] by D. Boivin and Y. Derriennic

Le cocycle brownien de degré deux comme bruit blanc sur les droites affines de l'espace

“…Les deux premières propriétés permettent de représenter le champ gaussien (B Σ ) Σ , sur l'espace de ses trajectoires, comme un cocycle de degré 2 pour l'action stationnaire de R 3 correspondant aux translations des surfaces triangulaires (sur les cocycles de degré 2 d'une action de R 3 , voir [2] ou [3]). Dans cet article, nous donnons une construction géométrique de ce champ gaussien, en utilisant le bruit blanc gaussien sur les droites affines orientées de R 3 .…”