Die Anzahl der durch vier teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers.

Abstract

in Mezötur (Ungarn) und H. Reichardt in Marburg (Lahn). Der vorliegende Satz nebst Anwendung stammt vom Erstgenannten. Der ursprüngliche Beweis wurde dann vom Zweitgenannten bedeutend vereinfacht, nachdem er durch die freundliche Vermittlung von Herrn H. Hasse davon Kenntnis erhalten hatte. Über die im engeren Sinne genommene absolute Klassengruppe eines quadratischen Zahlkörpers sind bisher nur die folgenden allgemeingültigen Tatsachen bekannt: die Ordnung der Gruppe, d. h. die Klassenzahlformeln von Dirichlet, und der Satz von Gauß über die Anzahl der Geschlechter, d. h. über die Anzahl der durch 2 teilbaren Invarianten der Gruppe. (Die Invarianten einer abelschen Gruppe sind, wie üblich, die Ordnungszahlen der Elemente eines beliebigen unabhängigen Basissystems.) Überdies haben wir 1 ) ein Kriterium für das Vorhandensein einer durch 4 teilbaren Invariante aufgestellt. Das Resultat hatte sich aus einem Vergleich der beiden genannten Sätze ergeben. Wir ermittelten nämlich aus den Klassenzahlformeln, in welchen Fällen die Klassenzahl eine höhere Potenz von 2 enthält, als der Gaußsehe Satz angibt: in diesen und nur in diesen Fällen gibt es unter den geraden Invarianten eine durch 4 teilbare.Wir werden in dieser Arbeit den Satz von Gauß bedeutend erweitern. Wir werden nämlich die genaue Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe bestimmen 2 ). Das Verfahren wird kurz das folgende sein: Nach Aufstellen sämtlicher relativ-zyklischer Oberkörper 4. Grades von der Relativdiskriminante l läßt sich die fragliche Anzahl mit Hilfe der Klassenkörpertheorie angeben.Der zu beweisende Satz wird sich mit dem Gaußschen Satze zusammen in einheitlicher Weise aussprechen lassen; beide scheinen nur einen Teil einer allgemeineren Gesetzmäßigkeit zu bilden. Beachtenswert ist auch der Umstand, daß der Lagrangesche Satz 1 ) L. Rodei, Über die Klassenzahl des imaginären quadratischen Zahlkörpers, dieses Journal 159 (1928), S. 210-219. --Ungarisch: unter dem nämlichen Titel, Math. u. Naturwiss. Anzeiger d. Ung. Akademie 44 (1927), 8.230-246; Über die Klassenzahl und Fundamentaleinheit des reellen quadratischen Zahlkörpers, Über die Klassenzahl des quadratischen Zahlkörpers, der nämliche Anzeiger 48 (1981), 3. 648-682 bzw. S. 689-707. -Das Endresultat befindet sich in der letzten Arbeit (S. 707). Für die Literatur siehe noch die Einleitung der ersterwähnten Arbeit. -Die vorliegende Arbeit wurde von L. Bodei in weniger einfacher Betrachtung in d. ung. Akad. d. Wies, vorgelesen und erscheint im erwähnten Anzeiger. *) Die vorhergehenden Forschungen haben genau das Kriterium für das Vorhandensein einer solchen Invariante festgestellt. Mit jenem Verfahren ist es natürlich unmöglich, die jetzt erzielte Anzahl zu bestimmen; wenn manAnzahl der durch 4 teilbaren Invarianten. Somit bietet jenes vorige Verfahren weniger, und die erwähnten Arbeiten werden in der vorliegenden unbeachtet gelassen. Jedoch wlre diese Arbeit ohne die Anregung der vorhergehenden nicht zustande gekommen.

$2^\infty$-Selmer groups, $2^\infty$-class groups, and Goldfeld's conjecture

“…From elementary work of Rédei and Reichardt [22], we know that the rank of the 4-class group of a quadratic field with discriminant ∆ can be determined from the kernel of a matrix of Legendre symbols d p , where d varies over the divisors of ∆ and p varies over the odd prime divisors of ∆. For quadratic twists of elliptic curves E with full two torsion and no rational cyclic subgroup of order four, we can also give the 2-Selmer rank as the kernel of a certain matrix of Legendre symbols.…”

Torus bundles not distinguished by TQFT invariants

“…There exists a simple method developped by Rédei and Reichardt (see [52]) to find the 4-rank of the narrow class group C D . Let D = p 1 p 2 • • • p n be the decomposition in odd prime numbers of D. The Rédei matrix M D is the n-by-n matrix over Z/2Z whose entries a ij are:…”

l-Class groups of cyclic extensions of prime degree l

“…In the 1930's, Redei and Reichardt proved certain results on class groups of some abelian extensions of Q ( [16]). Curiously, the series of papers by Gerth do not carry a reference to the old work of Redei and Reichardt.…”