Die maximalen arithmetisch definierten Untergruppen zerfallender einfacher Gruppen

Abstract

EinleitungSei k ein Zahlk6rper mit algebraischem Abschlu~ k, und sei G/k eine halbeinfache algebraische Gruppe. Dann kann man versuchen, die Menge aller arithmetischen Untergruppen yon G(/~) zu beschreiben. Da jede Untergruppe von endlichem Index in einer arithmetischen Gruppe definitionsgem~ifi wieder arithmetisch ist, sieht so ein Versuch zun~ichst hoffnungslos aus. Nun weifi man aber nach [4], daB unter gewissen Voraussetzungen jede arithmetische Untergruppe in einer beztiglich der Inklusionsrelation maximalen arithmetischen Untergruppe yon G(/~) liegt. Man wird also versuchen, jedenfalls diese maximalen arithmetischen Untergruppen zu verstehen. Genauer interessieren deren G(k)-Konjugationsklassen.Uber maximale arithmetische Untergruppen gibt es eine Ffille yon Untersu-¢hungen. Viele Beispiele yon solchen Gruppen findet man in dem Ubersichtsvortrag [1] von Allan und in der dort angegebenen Literatur. Vollst~indige Resultate, d.h., eine Bestimmung der G(k)-Konjugationsklassen der maximalen arithmetischen Untergruppen, werden yon Allan in [2] for G = S1, und G = Sp,, falls k die Klassenzahl 1 hat, angektindigt und yon Platonov [13], falls G/k einfach zerfallend und nicht yore Typ D, ist und k=¢~. Helling [11] hat ffir G=PG12 und beliebige Zahlk~rper Resultate.Sei nun G/k eine zusammenh~ingende einfache zerfallende algebraische Gruppe. In dieser Arbeit werden die G(k)-Konjugationsklassen der maximalen arithmetischen Untergruppen yon G(/~) bestimmt, und es wird ftir jede solche Klasse explizit ein Repr~isentant konstruiert. Es sieht so aus, als ob man auch fiir indefinite nicht zerfallende Gruppen analoge Resultate mit den hier benutzten Methoden gewinnen kann. Dabei daft k allgemeiner ein globaler K6rper sein. Der Autor wird hierauf an anderer Stelle zuriickkommen.Da Maximalit~t von arithmetischen Untergruppen invariant unter surjektiven Isogenien ist, wird zuerst der Fall einfachzusammenh~ingender Gruppen behandelt, die L6sung in der allgemeineren Situation folgt dann leicht (3.8). Sei also G/k einfachzusammenh~ngend. Nach einigen Erinnerungen an die lokale Theorfe der parahorischen Untergruppen yon Bruhat u. Tits in Kapitel I werden in Kapitel II

On volumes of arithmetic quotients of PO (n , 1)° , n odd

“…1.4]). In [26] (see also [7]) Rohlfs gave a characterization of principal arithmetic subgroups whose normalizers are maximal by defining a notion of "O-maximality". Arithmetic subgroups of minimal covolume are necessarily maximal.…”

Finiteness theorems for discrete subgroups of bounded covolume in semi-simple groups

“…Apart from minor modifications, the above proposition is due to J. Rohlfs when G is A-split [32]. It was already remarked in [24] that the proof of [32] goes over without change to the more general case if k is a number field. Since our context is slightly more general (for example, we allow k to be of positive characteristic), we repeat the proof.…”

“…To deal with a subgroup of Gg commensurable with the image ofAo, we need an estimate for the index of the latter in its normalizer. This is done by consideration of the first Galois cohomology set with coefficients in the center G of G (or flat cohomology if G is not reduced) via a slight generalization of an exact sequence due to Rohlfs [32] (see § §2, 5). The proof uses number theoretical estimates, in particular some involving discriminants given in §6.…”

On the convergence of arithmetic orbifolds

“…In general, given a F -form G of G ∞ , the congruence lattices in G(F ) are defined as the subgroups of G(F ) which are equal to the intersection of G(F ) with their closure in the group of points over finite adèles G(A f ) (if Γ is a congruence lattice in G(F ) then the congruence subgroups of Γ as defined above are also congruence lattices in G(F )). Some of these are closely related to maximal arithmetic lattices (see [41]), and we expect also that in a sequence of commensurability classes the congruence subgroups be BS-convergent to the universal cover when the degree of the field F in the construction above is bounded. The case of congruence subgroups of a fixed arithmetic lattice was dealt with in [1] (actually only in the case of compact orbifolds-but the general case can be deduced from [1, Theorem 1.11] with little effort, see Proposition 2.2 below).…”