Diffusions hypercontractives

Abstract

tous droits réservés. L'accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://portail. mathdoc.fr/SemProba/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIFFUSIONS HYPERCONTRACTIVES par D. Bakry et M. Émery La notion d'hypercontractivité d'un semi-groupe d'opérateurs est née il y a une quinzaine d'années, dans des articles de théorie quantique des champs (Glimm, Gross, Nelson, Simon). Nous n'en aborderons que l'aspect probabiliste, qui décrit le comportement de semi groupes de noyaux markoviens ; ; notre outil essentiel sera l'opérateur " carré du champ itéré " (pour les intimes : : le f2), déjà utilisé par le premier auteur dans un travail sur les transformations de Riesz (dans ce volume). Notre résultat principal est une condition suffisante (une forme forte de positivité de r2) pour qu'un semi-groupe soit hypercontractif. Ceci fournit de nouveaux résultats d'hypercontractivité, mais aussi de nouvelles démonstrations simplifiant ou améliorant des résultats connus. Soulignons que la condition suffisante que nous obtenons est très loin d'être nécessaire : : non seulement nous ne traitons que de diffusions, laissant ainsi échapper des cas aussi importants que le processus de Poisson sur l'espace à deux points, mais nous sommes loin de retrouver certains cas connus de diffusions hypercontractives, telles que les mouvements browniens sur toutes les variétés riemanniennes compactes. Dans un premier paragraphe, nous expliciterons une hypothèse en vigueur dans toute la suite : ' le processus considéré est une diffusion. La seconde partie donnera la définition de r2 et son calcul sur quelques exemples. Dans la troisième, nous ferons connaissance avec l'hypercontractivité ; ; dans la dernière, , enfin, nous établirons le théorème que nous avons en vue.

Stochastic completeness for graphs with curvature dimension conditions

“…1.16.1]. This approach, using curvature dimension conditions to obtain gradient bounds, was initiated in Bakry andÉmery [BE85]. The curvature dimension condition on graphs, the non-diffusion case, was first introduced by Lin and Yau [LY10] which serves as a combination of a lower bound of Ricci curvature and an upper bound of the dimension, see Definition 2.4 for an infinite dimensional version CD(K, ∞).…”

The subelliptic heat kernel on SU(2): representations, asymptotics and gradient bounds

“…Γ(cos r cos z, cos r cos z)dµ, and we compute SU (2) Γ(cos r cos z, cos r cos z)dµ = 1 2 , to conclude.…”

“…Γ(ln p t , p t )dµ = − SU (2) ln p t Lp t dµ = − ∂ ∂t SU(2) p t ln p t dµ Moreover, thanks to Proposition 4.6, there exists a constant C > 0 such that tΓ(ln p t , ln p t )( √ tr, tz) ≤ C, t ∈ (0, 1).…”

“…The proof is similar to the proof of the second point of Proposition 4.9.: By scaling and a dominated convergence argument based on Proposition 4.6., we obtain: lim t→0 SU (2) (sin 2r) q Γ(ln p t , ln p t ) q 2 (r, z)p t (r, z)dµ…”

Partial Differential Equations: Theory, Control and Approximation

“…Flow. Consider the flow associated to L , that is (10) ∂g ∂t = L g , and observe that if we can guarantee that f ≡ 0 along the evolution determined by (10). This is the case if assume that f (x) = f (−x) for any x ∈ [−1, 1].…”