Dynamics of Entire Functions

Abstract

Complex dynamics of iterated entire holomorphic functions is an active and exciting area of research. This manuscript collects known background in this field and describes several of the most active research areas within the dynamics of entire functions.Complex dynamics, in the sense of holomorphic iteration theory, has been a most active research area for the last three decades. A number of interesting developments have taken place during this time. After the foundational work by Fatou and Julia in the early 20th century, which developed much of the basic theory of iterated general rational (and also transcendental maps), the advent of computer graphics

Dynamic rays of bounded-type entire functions

“…does not form a normal family in the sense of Montel. The reader is referred to [Mil06] for a general introduction to the dynamics in one complex variable, and to [Ber93], [Ber08], [Sch10] for background on transcendental dynamics.…”

On some properties of an $exp(iz)$ map

“…множества Жюлиа J для рациональных целых и трансцендентных (в частности, гиперболических) целых функций обладают принципиально различной структурой [9,10]. Для гиперболических функций множество Жюлиа, которое в силу доказанной теоремы [16] совпадает с границей точек убегания (I = z : f (n) (z) → ∞, n → ∞ -escaping set, J = ∂I), имеет морфологию нескольких так называемых букетов Кантора (Cantor's bouquet). Во многом это связано с тем, что для гиперболических функций отображение не является сжимающим и зачастую имеет свойства взрывного роста [8].…”

“…цитированный выше результат Салливана). Что касается p-периодических циклов (p > 2), то для целых функций известна теорема, гарантирующая их существование и отталкивающий характер [16]. Экспериментальное их нахождение для exp(iz) крайне затруднительно!…”

On the Escaping Set of Meromorphic Functions With Direct Tracts

“…The importance of the escaping set I( f ), which was first studied by Eremenko [4] in transcendental dynamics, has increased significantly in recent years (see, for example, [1,2,[6][7][8][9][10]12]).…”

“…There are many results on the dynamical system of transcendental entire functions (see, for example, [12]). The structures of the Fatou set and the Julia set are the main focus.…”