E-series of character varieties of non-orientable surfaces

Abstract

In this paper we are interested in two kinds of stacks associated to a compact non-orientable surface Σ. (A) We consider simply the quotient stack of the space of representations of the fundamental group of Σ to GLn. (B) We choose a set S of k-punctures of Σ and a generic k-tuple of semisimple conjugacy classes of GLn, and we consider the stack of anti-invariant local systems on the orientation cover of Σ with local monodromies around the punctures given by the prescribed conjugacy classes. We compute the number of points of these spaces over finite fields from which we get a formula for their E-series (a certain specialization of the mixed Poincaré series). In case (B), unexpectedly (see Remark 1.9), when the Euler characteristic of Σ is even, our formulas turn out to be closely related to those arising from the character varieties of punctured compact orientable surfaces studied in [14] and [15].Résumé. -Dans cet article nous nous intéressons à deux types de champs associés à une surface compacte non-orientable Σ. (A) On considère simplement le champ quotient de l'espace des représentations du groupe fondamental de Σ dans GLn. (B) On choisit un ensemble S de k points de Σ et un k-uplet générique de classes de conjugaison semsimples de GLn et on considère le champ des systèmes locaux anti-invariants sur le revêtement d'orientation de Σ\S avec monodromies locales dans les classes de conjugaison choisies. On calcule le nombre de points de ces champs sur un corps fini et on en déduit une formule pour leur E-série (une certaine spécialisation de la série de Poincaré mixte). Dans le cas (B), étonnamment (voir Remarque 1.9), lorsque la caractéristique d'Euler de Σ est paire, nos formules sont très proches de celles provenant des variétés de caractères de surfaces compactes orientables épointées étudiées dans [14] et [15].

On the cohomology of characters stacks for non-orientable surfaces

“…In this case, there is an equality E(M C , q) = Q(q) (for more details see §7.1). The same approach to compute E-series for character stacks has already been used in [23], [24], [34].…”

“…For a quotient stack X = [X/G] where G is a connected linear algebraic group and X an affine variety, the E-series E(X , q) is well defined and E(X , q) = E(X, q)E(BG, q) where BG is the classifying stack of G, for a proof see [34,Theorem 2.5].…”