Ein Radikal f�r universale Algebren und seine Anwendung auf Polynomringe mit Komposition

Mlitz, Rainer

doi:10.1007/bf01295377

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“…(2) J,, (a(€* 4) = (0: Q)-Dm erste Resultat stellt somit eine Erweiterung des Radikals aus [9] (Satz 6) von Polynomringen uber kommutativen Ringen mit Einselement auf Polynomalgebren uber beliebigen Multioperatorgruppen dar, wlihrend das zweite nichts anderes aussagt, als daB der durch das Radikal J30 vermittelte Homomorphismus die Polynomalgebra Q (F, m ) auf die Algebra P (a, m ) der Polynomfunktionen von Qm in Q abbildet.…”

Section: Das Verallgemeinerte Andcmer-radikal Der Q-qruppe Q Bezeichnet;unclassified

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Jacobson-Radikale in Fastringen mit einseitiger Null

Mlitz

1974

Math. Nachr.

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Der Begriff des JACOBSON-Radikals wurde in [2] und [3] auf (nicht unbedingt distributiv erzeugte) Fastringe ubertragen und spliter von verschiedenen Autoren (siehe etwa [lo], [ l l ] , [12], [13]) untersucht. I n allen diesen Arbeiten wird vorausgesetzt, daD die Null beidseitig invariant bezuglich des Produktes ist, was etwa beim einfachen Beispiel eines Polynomringes mit Addition und Komposition als Operationen bereits nicht mehr zutrifft. Lediglich in [5] wurde ein Radikal fur den allgemeinen Fall angegeben, dessen Berechnung fur Fastringe von Polynomen uber Korpern mit mehr als zwei Elementen in [4] zu finden ist. In der vorliegenden Arbeit wird die Voraussetzung der beidseitigen Invarianz der Null fallengelassen; es werden zunachst in Anlehnung an [3] formal zwolf verallgemeinerte JACOBSON-Radikale konstruiert, von denen allerdings drei immer gleich sind. Abschnitt 2 gibt einige Eigenschaften dieser Radikale, vor allem im Zusammenhang mit modularen Linksidealen, an ; im 3. Abschnitt werden einige Struktursatze fur halbeinfache Fastringe gewonnen, wahrend im 4. einige der Radikale explizit berechnet werden (die innere elementweise Charakterisierung der meisten ist allerdings weiterhin ein offenes Problem). Die Abschnitte 5 und 6 bringen schliel3lich die Ubertragung eines GroBteils der Resultate auf m S-Fastringe und ihre Anwendung auf Polynombereiche mit Komposition, wobei sich wesentliche Erweiterungen von Resultaten aus [4] und [9] ergeben. Der Autor dankt Herrn G. BETSCH fur seine kritischen Hinweise.Bezeichnungen N = Fastring (im Abschnitt 5 m Q-Fastring) 0 = neutrales Element in N + c = neutrales Element in N-Gruppen r 4 N F+ -Z = Faktorgruppe der N-Gruppe T nach dem N-Kern Z n (N, k 1) = Durchschnitt der N-Anullatoren aller N-Gruppen vom Typ k 1 L ( N ) = Menge der Linksideale von N Math. Nachr. Bd. 63

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Section: Das Verallgemeinerte Andcmer-radikal Der Q-qruppe Q Bezeichnet;unclassified

“…, 0 ) , +, Q) bezeichnet. (Dieses ist gleich dem Durchschnitt derinaximalen Ideale der betrachteten Multioperatorgruppe ; siehe[9]. )…”

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Jacobson-Radikale in Fastringen mit einseitiger Null

Mlitz

1974

Math. Nachr.

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On the Radicals of Composition Near-Rings

Veldsman

2001

Near-Rings and Near-Fields

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Full ideals of polynomial rings

Kreuzer

Maxson

1998

Monatshefte f�r Mathematik

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Abstract. An ideal I of the ring K [xl,..., xn] of polynomials over a field K in n indeterminates is a full ideal if I is closed under substitution, f C I, g~,..., gn E K[Xl,... ,xn] imply f(gl,. 9 -, gn) E L In this paper we continue the investigation of full ideals of K[Xh... , Xn]. In particular we determine several classes of full ideals of K[x, y] (K a finite field) and investigate properties of these classes.

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Ein Radikal f�r universale Algebren und seine Anwendung auf Polynomringe mit Komposition

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Jacobson-Radikale in Fastringen mit einseitiger Null

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