Eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung der Integrationsformeln von Newton-Cotes

Uhlmann, Werner

doi:10.1007/bf01600525

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“…A second approach to the problem is found in some fairly recently published papers on numerical methods (see Blanc [1], BlancLiniger [2] and Uhlmann [11]). These authors consider the classical situation when one has to compute a definite integral by numerical integration, but depart from the classical case in assuming that the function to be integrated is a realization of a stochastic process of the kind considered here.…”

Section: =Ex(t)2mentioning

confidence: 98%

“…The process {Yv; v = ... , -1,0,1, ... } then has covariance function (11) where the spectral density g (A) = n L~_ 00 t [n (A + 2 v n)], IAI<: ;; n.…”

Section: Best Estimates With Equally Spaced Time Poiuts: Prelimiuariesmentioning

confidence: 99%

“…The yy-process has, parallel to (11), a spectral representation (25) where Zy (A) is a process of the same kind as Z (A) in the representation (2) …”

Section: Best Estimates With Equally Spaced Time Points: Continuationmentioning

confidence: 99%

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On the estimation of the time mean-value of a stationary process

Ajne

1960

Scandinavian Actuarial Journal

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This paper deals with the estimation of the time average 1 = nx (t) dt of a stationary stochastic process, {x (t); -00 < t < oo}, by means of a finite linear combination 1*of observed values from the interval [0,1]. A brief account of previous work on this problem is given, some general comments are made, and then the main part of the paper is devoted to the construction of an estimate 1*, which, asymptotically, minimizes E (1 -1*)2, to'" t n being equidistant (except in the case of a firstorder Markov process). This 'best' estimate turns out to be, to a certain extent, independent of the spectral properties of the process.

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Section: =Ex(t)2mentioning

confidence: 98%

“…The process {Yv; v = ... , -1,0,1, ... } then has covariance function (11) where the spectral density g (A) = n L~_ 00 t [n (A + 2 v n)], IAI<: ;; n.…”

Section: Best Estimates With Equally Spaced Time Poiuts: Prelimiuariesmentioning

confidence: 99%

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On the estimation of the time mean-value of a stationary process

Ajne

1960

Scandinavian Actuarial Journal

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“…. (16), wobei r = (xi-y# ist, d. h. es ist fur r 2 0 i = l IK(r).>I 5 K(0)(17).In(16) gilt bekanntlich das Gleichheitszeichen fur festes x und y dann und nur dann, wenn es zwei reelle Zahlen LY und ,!I gibt rnit aa + ,!I2 > 0 und a u(x, w ) + u(y, w) = 0 fur p-fast alle w.Um zu untersuchen, wann IK(r)l = K(0) ist, beweisen wir zunachst einenHilfssatz: Bei einem isotropen Prozej? v(x, w ) isf fur zwei feste Punkte x und y E R, dann und nur dann E [u(x, w ) u(y, w)] = K(O), wenn u(x, w ) = u(y, w ) ist fur p-fast alle w. Dagegen ist E[u(x, w ) u(y, w)] = -K(0) gleichbedeutend damit, dap u(x, w ) =u(y, w ) liir p-fast alle o ist.…”

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Über harmonische und isotrope stochastische Prozesse mit Fehlerschätzung für ein Differenzenverfahren

Uhlmann¹

1961

Z Angew Math Mech

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I m eraten Teil werden stochastische Prozeaae untersucht, bei denen jede Realisation eine harmonische Funktion ist. Inabesondere wird eine Spektralthorie entwickelt. I m zweiten Teil werden isotrope Prozesse betrachtet und als Anwendung eine Fehlerschatzung far das gewohnliche Dif ferenzenverfa,hren bei der Poissonachen Differentialgleichung hergeleitet. Diese Fehlerschatzung wird an einem Beispiel erprobt.I n the first section stochastic proceases are researched for which every realiaation is a harmonic function. I n particular a spectral theory is developed. I n the second section isotropic processes are considered and as an application an error estimation is developed for the ordinary finitedifference method for the Poisson differential equation. This error estimation is tested by an example. B nepBoZi Yacm mcnenymcH CToxacTmecme npoqeccbI, KamaaR p e a n m a~m HOTOPMX mnHeTcH rapMoHmecKoi cpymunei. B YacTnocm m n a r a e~c~ cpewpamaarr Teopm. Bo ~~opoZt Yacm paccMaTpmamcH u 3 0~p o n~~e xpoqeccH. B KaqecTBe npmieHeHm BJSBOAMTCH oqema nopremiocm OBMKHO BemOrO paanocmoro Meioxa ~n r r m+@epenqanbHoro ypamenm n y acc o H a. Oqema norpeIuHocTu n o~a a a~a Ha npmepe. EinleitungIn den letzten Jahren wurden verschiedentlich die stochastischen Prozesse herangezogen, urn Probleme aus der praktischen Analysis zu behandeln. Dies geschieht um der Moglichkeit willen, statt einer einzigen numerischen Aufgabe (z. B. eine Integration, eine Anfangswertaufgabe bei einer gewohnlichen Differentialgleichung USW.) gleich eine Menge solcher Aufgaben auf einmal zu betrachten und die mittleren oder durchschnittlichen Eigenschaften der Naherungslosungen zu untersuchen. Man kann so u. a. zu Fehlerschatzungen gelangen, d. h. zu Aussagen daruber, wie grol3 bei haufiger Anwendung eines bestimmten Verfahrens der Fehler . durchschnittlich ausfallt. Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit, stochastische Prozesse zu untersuchen, die in Zusammenhang stehen mit der ersten Randwertaufgabe (DmcHLET-Problem) bei der PoIssoNschen Differentialgleichung. Es bieten sich zwei Moglichkeiten fur die zu machenden Voraussetzungen an, indem man namlich Forderungen 1. an jede Realisation oder 2. an den Zufallsmechanismus (genauer an die Korrelationsfunktion) stellt. Im Abschnitt 2 werden daher stochastische Prozesse untersucht, bei denen d u fur alle Realisationen u dieselbe Funktion ist. Man konnte auch allgemeiner eine elliptische Differentialgleichung benutzen, da im wesentlichen nur die eindeutige Losbarkeit der 1. Randwertaufgabe und der Randmaximumssatz fur die Beweise herangezogen werden. Es werden eine Reihe von Eigenschaften solcher Prozesse bewiesen und eine Spektraltheorie entwickelt, urn u. a. einen Oberblick uber die Menge aller solcher Prozesse zu gewinnen. Dabei wird von der Idee, die KOvarianzfunktion als Kern einer Integralgleichung zu deuten, Gebrauch gemacht (siehe d a m K. KARHUNEN [S], [9], SLuTsKY [16]). Von einer anderen Fragestellung her hat KAMPI~ DE FI~RIET 171 ahnliche Prozesse betrachtet. Irn Abschnitt 3 werden isotrope Prozess...

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Numerische Experimente zur mehrdimensionalen Quadratur

Roos¹,

Arnold²

1963

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Eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung der Integrationsformeln von Newton-Cotes

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On the estimation of the time mean-value of a stationary process

On the estimation of the time mean-value of a stationary process

Über harmonische und isotrope stochastische Prozesse mit Fehlerschätzung für ein Differenzenverfahren

Numerische Experimente zur mehrdimensionalen Quadratur

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