Eliminating Disjunctions by Disjunction Elimination

Abstract

Completeness and other forms of Zorn’s Lemma are sometimes invoked for semantic proofs of conservation in relatively elementary mathematical contexts in which the corresponding syntactical conservation would suffice. We now show how a fairly general syntactical conservation theorem that covers plenty of the semantic approaches follows from an utmost versatile criterion for conservation given by Scott in 1974.To this end we work with multi-conclusion entailment relations as extending single-conclusion entailment relations. In a nutshell, the additional axioms with disjunctions in positive position can be eliminated by reducing them to the corresponding disjunction elimination rules, which in turn prove admissible in all known mathematical instances. In deduction terms this means to fold up branchings of proof trees by way of properties of the relevant mathematical structures.Applications include the syntactical counterparts of the theorems or lemmas known under the names of Artin–Schreier, Krull–Lindenbaum, and Szpilrajn. Related work has been done before on individual instances, e.g., in locale theory, dynamical algebra, formal topology and proof analysis.

Syntax for Semantics: Krull’s Maximal Ideal Theorem

“…4 For the sake of a slicker wording we thus deviate from the prevalent terminology of constructive mathematics and set theory (Aczel and Rathjen 2000;2010;Bishop 1967; and the class of all subsets of S by Pow(S). We further refer to Rinaldi, Schuster, and Wessel 2018 for provisos to carry over to the present paper. We need to recall only few and basic notions from commutative ring theory (Lombardi and Quitté 2015;Yengui 2015).…”

On the logical structure of choice and bar induction principles

“…For instance, see Rinaldi, Schuster and Wessel [22] for the statement of a completeness theorem such as Compl + (T ), up to the identification of some ∃ with ¬¬∃. See also e.g.…”

Der Satz von Hahn-Banach per Disjunktionselimination

“…Für eine abelsche Gruppe A ergibt sich dann die folgende Definition: Beweis. -Nach Satz 2.1 [33,34] genügt es zu zeigen, dass die den zusätzlichen Axiomen entsprechenden Konservativitätsregeln…”

“…Eine geeignete Formulierung als syntaktisches Konservativitätsresultat lässt jedoch einen konstruktiven Beweis zu [8,11,13,28]. In der Tat handelt es sich um eine Instanz eines allgemeinen Phänomens mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen in abstrakter Algebra und Ordnungstheorie [16,18,19,30,25,31,33,34,35,36,45,48,47].…”

“…In dieser Formulierung wird der Satz von Hahn-Banach zum Spezialfall des universellen Satzes von Krull-Lindenbaum [32]. Die Konservativität kann also auch hier als eine Form von Disjunktionselimination aufgefasst werden [33,34]. Dies kann nützlich sein, da sich aus klassischen Beweisen ohne Disjunktionen in positiver Position verhältnismäßig leicht rechnerischer Gehalt extrahieren lässt [40].…”