Emergence of Wave Patterns on Kadanoff Sandpiles

Abstract

Emergence is a concept that is easy to exhibit, but very hard to formally handle. This paper is about cubic sand grains moving around on nicely packed columns in one dimension (the physical sandpile is two dimensional, but the support of sand columns is one dimensional). The Kadanoff Sandpile Model is a discrete dynamical system describing the evolution of a finite number of stacked grains -as they would fall from an hourglass-to a stable configuration (fixed point). Grains move according to the repeated application of a simple local rule until reaching a fixed point. The main interest of the model relies in the difficulty of understanding its behavior, despite the simplicity of the rule. In this paper we prove the emergence of wave patterns periodically repeated on fixed points. Remarkably, those regular patterns do not cover the entire fixed point, but eventually emerge from a seemingly highly disordered segment. The proof technique we set up associated arguments of linear algebra and combinatorics, which interestingly allow to formally state the emergence of regular patterns without requiring a precise understanding of the chaotic initial segment's dynamic.

Piles de sable décroissantes 1D. Classification expérimentale d'émergences

“…Les développements de [22,24,23] mettent en avant l'importance de deux représentations supplémentaires :…”

“…Dans une série d'articles [19,20,21,23,25] nous avons conclu une caractérisation asymptotique des points fixes π(N ) pour les modèles de piles de sable Kadanoff, dont les règles sont de la forme (1, . .…”

“…, 1) pour un paramètre p (indiquant la longueur de la règle, et donc dans ce cas le nombre de grains s'éboulantà chaque itération). Les développements de [23] Dans l'exemple détaillé de la Figure 13, les points fixes pour lesquels l'avalanche s'est arrêtée dans le segment initial ne sont pas représentés. Nous voyons le mot central (souligné) remonter (N = 1200, 1213, 1214, 1215, 1216, 1220) jusqu'à l'extrémité gauche (en haut) de la partie régulière, avant de disparaître (N = 1224), pour qu'ensuite un nouveau mot central soit crééà l'extrémité droite (en bas) de la partie régulière (N = 1225).…”

“…. , 1)) dans [19,20,21,23,25], et des premierś eléments de leur généralisation ontété présentés dans [22,24]. Ces développements utilisent la convergence de la représentation ∆ 2 v des points fixes, observable sur les simulations de la Section 3.…”

“…En conséquence, les configurations stables obtenues présentent un segment irrégulier (où les grains sont ajoutés), suivi d'un segment très ordonné ayantémergé de la dynamique. Ces comportements ontété démontrés pour les modèles de piles de sable Kadanoff, par l'introduction d'une technique de preuve mêlant deséléments d'algèbre linéaire pour l'apparition de régularités (notion de convergence), et combinatoire pour la description fine des motifs réguliers [19,20,21,23,25].…”