Energy Methods for Free Boundary Problems

Antont︠s︡ev, S. N.; Díaz, J. I.; Shmarev, Sergey

doi:10.1007/978-1-4612-0091-8

Cited by 127 publications

(50 citation statements)

References 0 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…It means that there is no time relaxation between the initial time and the first time in which the free boundary arises for a given positive initial datum. This behaviour is radically different from the one observed for nonlinear parabolic problems of reaction-diffusion type (see, for instance, the works of Antontsev, Díaz and Shmarev [3] and their references) and, in the best of our knowledge, it is proved here by firt time in the literature.…”

Section: Theorem 21 Assume That There Exists ε > 0 Such Thatcontrasting

confidence: 87%

On the instantaneous formation of cavitation in hydrodynamic lubrication

Díaz

Martin

2006

Comptes Rendus. Mécanique

View full text Add to dashboard Cite

We consider the Elrod-Adams model extending the classical lubrication Reynold equation to the case of the possible presence of a cavitation region. We show that the behaviour of the pressure and saturation depends crucially of the behaviour of the separation h(t, x, y) among the two surfaces. In particular, we exhibit some simple formulations for which we prove (rigorously) that a cavitation region is formed instantaneously (even for initially saturated flows). Some numerical experiences are also given. To cite this article: J.I. Díaz, S. Martin, ... RésuméSur la formation instantanée de la cavitation en lubrification hydrodynamique. Nous considérons le modèle d'Elrod-Adams, qui permet d'étendre l'équation de Reynolds (classiquement utilisée en lubrification)à la prise en compte de la cavitation (formation de bulles de gaz). Nous montrons que le comportement de la presion et de la saturation du lubrifiant dépend, de manière cruciale, du comportement de la distance entre les deux surfaces h(t, x, y). En particulier, nousétablissons deux formulations simples pour lesquelles nousétablissons (rigoureusement) qu'une zone cavitée se forme instantanément (y comprisà partir d'une situation initiale totalement saturée). Des résultats numériques sontégalement présentés. Pour citer cet article : J.I. Díaz, S. Martin, ... Version française abrégéeOn s'intéresseà un problèmeà frontière libre issu de la théorie de la lubrification. La modélisation d'unécoulement mince en régime transitoire est généralement basée sur l'équation de Reynolds. Afin de prendre en compte les phénomènes de cavitation (apparition de bulles de gaz dans l'écoulement liquide, a pression constante), on utilise le modèle d'Elrod-Adams, qui introduit une non-linéarité spécifique, par l'intermédiaire d'une inconnue supplémentaire. Ce modèle s'écrit :Email addresses: ji − diaz@mat.ucm.es (Jesús Ildefonso Díaz), sebastien.martin@insa-lyon.fr (Sébastien Martin). août 2006Ici, h est la hauteur normalisée entre les deux surfaces qui confinent l'écoulement (donnée du problème), v est la vitesse de cisaillement (constante) du dispositif, u est la pression dans le film mince (inconnue du problème), θ est la saturation locale de la phase liquide et H désigne le graphe de Heaviside. Bien que ce problème soit bien posé, l'étude de ce modèle, conservatif en termes de débit, présente un enjeu majeur dans la mesure où la naissance des zones dites cavitées (les ensembles tels que u = 0) est un phénomène mal compris. Le but de cette note est de clarifier les conditions d'apparition ou de disparition de la cavitation,à partir de critères géométriques simples.Théorème 0.1 Supposons qu'il existe ε > 0 tel queSupposons que la condition aux limites suivante est imposée :Ce résultatétablit l'apparition instantanée de la cavitation sous l'effet de la condition géométrique, ce qui est un résultat radicalement différent de ceux obtenus pour des problèmes paraboliques de type réaction-diffusion pour lesquels il existe un temps de relaxation pour l'apparition de phénomènes si...

show abstract

Section: Theorem 21 Assume That There Exists ε > 0 Such Thatcontrasting

confidence: 87%

On the instantaneous formation of cavitation in hydrodynamic lubrication

Díaz

Martin

2006

Comptes Rendus. Mécanique

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…The conditions on a(t) to generate a supersolution are 6) and, in fact, those conditions are also sufficient for the total variation flow. Nevertheless, in the limit case p=1, condition (3.6) can be substituted by the new one given in the above result (which is not the case of problem P p D ).…”

Section: If R T (R) :=(R − A(t))mentioning

confidence: 96%

Some Qualitative Properties for the Total Variation Flow

Andreu¹,

Caselles²,

Díaz³

et al. 2002

Journal of Functional Analysis

133

View full text Add to dashboard Cite

We prove the existence of a finite extinction time for the solutions of the Dirichlet problem for the total variation flow. For the Neumann problem, we prove that the solutions reach the average of its initial datum in finite time. The asymptotic profile of the solutions of the Dirichlet problem is also studied. It is shown that the profiles are nonzero solutions of an eigenvalue-type problem that seems to be unexplored in the previous literature. The propagation of the support is analyzed in the radial case showing a behaviour entirely different to the case of the problem associated with the p-Laplacian operator. Finally, the study of the radially symmetric case allows us to point out other qualitative properties that are peculiar of this special class of quasilinear equations. © 2002 Elsevier Science (USA)

show abstract

“…The fast diffusion, instead, finds a paradigmatic application to the flows in plasma physics. Many results and references can by found in the monographs [2] and [22].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%