Entwurf nichtlinearer Beobachter für autonome Systeme basierend auf dem Hilfssatz von Lyapunov (Design of Nonlinear Observers for Autonomous Systems using Lyapunov’s Auxiliary Theorem)

Abstract

Dieser Beitrag behandelt den Entwurf nichtlinearer Beoachter unter Verwendung des Hilfssatzes von Lyapunov. Zur Berechnung von Beobachtern mit näherungsweise linearer Fehlerdynamik mit dieser Methode werden zwei numerische Verfahren vorgeschlagen. Der erste Ansatz basiert auf einer Potenzreihenentwicklung der Lösung des beim Beobachterentwurf anfallenden Anfangswertproblems und liefert für hinreichend kleine Anfangsfehler eine näherungsweise lineare Fehlerdynamik in den Originalkoordinaten. Beim zweiten Ansatz wird das Galerkin-Verfahren verwendet, um die Nichtlinearitäten der Fehlerdynamik in einem vorgebbaren Bereich im Zustandsraum im quadratischen Mittel klein zu machen und damit näherungsweise zu linearisieren. Für beide Verfahren werden lineare Matrixgleichungen in expliziter Form hergeleitet, was eine Implementierung der vorgeschlagenen Beobachterentwurfsverfahren in numerischen Software-Pakten ermöglicht. Anhand eines einfachen Beispiels werden die beiden Ansätze zum Beobachterentwurf miteinander verglichen. This paper presents the design of nonlinear observers by using Lyapunov’s Auxiliary Theorem. On the basis of this result two approaches are proposed for the design of nonlinear observers with approximately linear error dynamics. The first approach uses a Taylor expansion of the solution of the initial value problem to be solved for the observer design. The resulting observer has an approximately linear error dynamics in the original coordinates provided that the initial error is sufficiently small. By using the Galerkin approach the second method results in an error dynamics with nonlinearities which are small in the least square sense on a prespecified interval in the state space. Linear matrix equations are derived for both methods enabling the implementation in numerical software packages. A simple example compares the properties of the proposed numerical observer design techniques.