Equivalence between two finite element methods for the eddy current problem

Abstract

The goal of this Note is to prove that two, in principle different, well-known finite element approximations of the eddy current model are equivalent. The first one concerns a formulation involving the magnetic field in the conductor and the magnetic scalar potential in the dielectric. The second one solves another formulation of the same problem involving the magnetic field in both, the conductor and the dielectric, and a Lagrange multiplier in the dielectric. The latter is also shown to be equivalent to a third formulation involving two Lagrange multipliers, which leads to a well posed linear system. RésuméEquivalence entre deux méthodes d'éléments finis pour le problème des courants de Foucault. Le but de cette Note est de démontrer que deux méthodes d'éléments finis pour la résolution du problème des courants de Foucault, en principe différentes, sont complètementéquivalentes. La premiére concerne une formulation qui a comme inconnues principales le champ magnétique dans le conducteur et le potentiel scalaire magnétique dans le diélectrique. La seconde résout une formulation qui inclut le champ magnétique dans tout le domaine et un multiplicateur de Lagrange dans le diélectrique. On démontre aussi que celle-ci estéquivalenteà une trosième formulation avec deux multiplicateurs de Lagrange, qui conduità un système linéaire bien posé. Preprint submitted to Elsevier Science Version française abrégéeCette Note concerne la résolution paréléments finis du problème des courants de Foucault (1) avec les conditions aux limites (2). Ce problème aété considéré dans [4] où une formulation en champ magnétique dans le conducteur et en potentiel scalaire magnétique dans le diélectrique aété analysée. Pour la résolution numérique de cette formulation on y a proposé deséléments de Nédélec pour l'approximation du champ magnétique et des fonctions continues, linéaires parélément fini, pour le potentiel scalaire magnétique (voir le Problème 3). Des estimations d'erreur optimales ontété obtenues et confirmées para les experiences numériques.Cette méthodologie pour la résolution du problème des courants de Foucault est intéressante du point de vue du temps de calcul, dans la mesure où on a seulement une inconnue scalaire dans le diélectrique. Cependant, très souvant le diélectrique n'est pas simplemente connexe et l'implementation sur ordinateur a besoin de coupures dans le maillage (voir [2], [4]), ce qui est une difficulté d'ordre pratique.Une possibilité pour l'éviter consisteà utiliser un multiplicateur de Lagrange pour imposer le caractère solenoidal du champ magnétique dans le domaine diélectrique. Cette alternative aété analysée dans [1] aux niveaux continu et discret, dans un cas avec des conditions aux limites différentes des (2).Dans cette Note nous introduisons cette méthode au niveau discret. Plus précisément, nous considérons le Problème 5 où le champ magnétique est approché par deséléments finis de Nédélec,à la fois dans le conducteur et dans le diélectrique, tandis que le multiplicateur de Lagrange est pris...

Variational methods for solving numerically magnetostatic systems

“…We refer to [10,Chapter 6] or [11,Chapter 3] for its Solving magnetostatic systems definition. See also [12][13][14][15][16][17] and References therein for related models.…”