Equivalence classes for Emden equations

Point classification of second order ODEs and its application to Painlevé equations

“…This classification is more general than all previous ones. The relation between the (pseudo)invariants from works [20,21] and the semiinvariants from works [4,14] (as they were presented in [2]) was shown in paper [11] and here in Section 7. Moreover, in all possible cases the set of the invariants can be broadened.…”

“…In work of E. Cartan [4] the notations P = −a 4 , Q = −a 3 , R = −a 2 , S = −a 1 , A = −L 1 , B = −L 2 were adopted, where L 1 and L 2 are the components of the projective curvature tensor. In the work of R.Liouville [14] there were provided the semiinvariants ν 5 , w 1 , i 2 , and the parameter R 1 (see review [2]). Relations between them and the pseudoinvariants F , Ω, N and the component H are as follows,…”

Решение Проблемы Эквивалентности Для Уравнения Пенлеве IV

“…Лиувилль в работе [14] построил полуинварианты ν 5 , w 1 , i 2 , а также величину R 1 (более подробный обзор его результатов содержится в работе [24]). Здесь мы при-водим связь между ними и псевдоинвариантами F , Ω, N , а также величиной H -второй компонентой псевдовекторного поля β:…”

“…Сами выражения для X 1 и X 2 очень громоздкие, поэтому они вынесены в приложение Б. Из предпоследнего шага редукции многочленов P 1 (x, y) и P 2 (x, y) по переменной y выразим y через инварианты J 1 , J 4 и переменную x. В силу представления (24) получаем выражение для y:…”

Equivalence Classes of the Second Order Odes with the Constant Cartan Invariant

“…Pseudoinvariant of weight m is a certain function depending on (x, y) that is transformed under (2) with factor det T (the Jacobi determinant) in the degree m:…”