Ergodic Optimization for Renewal Type Shifts

Abstract

Abstract. We consider a class of countable Markov shifts R and a locally Hölder potential φ. We prove that the existence of φ−optimal measures is closely related to the behaviour of the pressure function t → P (tφ). Using a Theorem by Sarig it is possible to prove that there exists a critical value tc ∈ (0, ∞] such that for t < tc the pressure is analytic and for t > tc is linear. We prove that if tc is finite then there are no φ−optimal measures and if it is infinite then φ−optimal measures do exist.

Multifractal analysis and phase transitions for hyperbolic and parabolic horseshoes

“…Proposition 2 ( [27]; see also [10]): Let (Σ R , σ) be the renewal shift. For each φ ∈ R there exists q c ∈ (0, +∞] such that:…”

Princípio dos grandes desvios para estados de Gibbs-equilíbrio sobre shifts enumeráveis à temperatura zero

“…. , l K 0 }, então para qualquer a ∈ N existem l 1 e l K 0 tais que Um exemplo importante de um shift que não tem a propriedade BIP e que é topologicamente mixing é o Renewal shift (veja [Iom07]). …”

“…Usando os resultados de Sarig [Sar01], G. Iommi [Iom07] mostrou que no Renewal shift a existên-cia de medidas maximizantes para um potencial localmente Hölder contínuo equivale à analiticidade da pressão para todo β > 0. Voltaremos neste exemplo no futuro.…”

“…Teorema 20 (G. Iommi, [Iom07]). Seja Σ A (N) um Renewal shift e f localmente Hölder contínua com sup f < ∞.…”

“…Usando o Teorema Ergódico de Birkho este problema é equivalente a encontrar os pontos que maximizam o crescimento das somas ergódicas de f (veja [Jen06]). Usando resultados de O. Sarig [Sar01], G. Iommi encontrou uma conexão entre transição de fase e Otimi-1.0 zação Ergódica, provando que a ausência de transições de fase em Renewal shifts é equivalente a existência de medidas maximizantes [Iom07].…”