Ergodicit� et limite semi-classique

Eigenvalue variations and semiclassical concentration

“…Among the basic facts satisfied by any semiclassical measure, we mention only the two following properties (see [3,7])…”

“…This is done via a so-called quantization procedure. There are several possible choices, but it is useful to choose a quantization that respects positivity (see [3,7]) 1 . Thus, for any function a on S * X there exists a pseudodifferential operator Op + (a) of order 0 whose principal symbol is a.…”

Zitterbewegung and semiclassical observables for the Dirac equation

“…In an analogous situation for Schrödinger-Hamiltonians the ergodicity of the associated Hamiltonian flow implies that the Wigner transforms of almost all eigenfunctions equidistribute on the corresponding energy shell. This result, known as quantum ergodicity, goes back to Shnirelman [Shn74] and has been fully proven in [Zel87,CdV85,HMR87]. In the case under study we now suppose that the energy E lies in an interval (E − , E + ), in which the spectrum of the Dirac-Hamiltonian is discrete.…”

Équirépartition de fonctions propres pour des problèmes aux limites

“…le flot géodésique) entraîne que "presque toutes" les fonctions propres se délocalisent asymptotiquement uniformément en espace et en fréquence. En 1987 un résultat analogue a été prouvé par HeIffer-Martinez-Robert ( [8]) pour un opérateur de Schrôdinger semi-classique. Notons que le résultat précédent est en général faux pour une famille non orthonormée de fonctions propres.…”