Every planar graph without triangles adjacent to cycles of length 3 or 6 is (1,1,1)-colorable

Sobre (2,1)-colorações em grafos exoplanares maximais

“…Decidir a existência de (3, 1)-colorações ou (2, d)-colorações, para d > 0, são problemas NP-completos mesmo no contexto de grafos planares (Angelini et al, 2017). Ainda assim, (3, 1)-colorações foram construídas para algumas famílias de grafos planares, como os grafos planares sem triângulos adjacentes e sem ciclos de tamanho cinco (Xu, 2009), grafos planares sem triângulos adjacentes a ciclos de tamanho três ou seis (Huang, 2020), grafos planares sem ciclos de tamanho quatro ou nove (Dai et al, 2017) e grafos planares sem ciclos adjacentes de tamanho no máximo cinco (Zhang et al, 2016). Além disso, o Teorema de Grötzsch, que estabelece que grafos planares sem triângulos possuem uma (3, 0)-coloração, levanta a pergunta sobre a existência de (2, d)-colorações, para algum d. De fato, há muito interesse na determinação das subclasses de grafos planares que possuem uma (2, d)-coloração, para d > 0.…”