Exact bounds for the solution branches of nonlinear eigenvalue problems

Abstract

Summary. A method is constructed which yields a strip containing the full solution sets of nonlinear eigenvalue problems of the form u = 2Tu.The strip can be narrowed iteratively, and the method applies for both stable and unstable branches. Its high degree of accuracy is demonstrated by numerical examples. In particular, a lower bound is given for the critical value at which criticality is lost in the thermal ignition problem for the unit ball.

Une m�thode num�rique pour le calcul des points de retournement. Application � un probl�me aux limites non-lin�aire

“…Des m6thodes num6riques pour calculer la branche B ont 6t6 propos6es par diff6rents auteurs: Kubicek [7] d6crit un programme FORTRAN combinant les m6thodes de Newton et d'Adams-Bashforth pour la r6solution d'un syst6me d'6quations diff6rentietles caract6risant la branche de solutions; Kikuchi [6] donne un algorithme issu du th6or~me des fonctions implicites; Simpson [16] pr6sente une technique modifi6e d'interpolation inverse pour trouver sur la branche B le point off ~=0; pour des probl6mes du type u =2Tu off l'op6rateur non lin6aire T est positif et croissant, Sprekels [17] donne une m6thode de calcul des branches de solutions; enfin, un algorithme de calcul du point de retournement pour le probl6me de Dirichlet: -Au+)tu2+f=O est pr6sent6 par Serre [14].…”

“…La plupart des m6thodes sont globales (c'est le cas de [7] et [17]). Elles permettent de calculer point par point la courbe solution en fonction d'un param+tre s (dont le choix varie d'une m6thode ~t l'autre).…”

“…Pour calculer la branche de retournement du probl6me (Ph), il existe des m6thodes num6riques sp6cifiques qui tiennent compte des propri6t6s de monotonie et de positivit6 d'un op6rateur non lin6aire associ6 (voir par exemple [17]). C'est comme exemple d'application de l'algorithme ~ que nous avons choisi ce probl6me.…”