Exact solution for the nonlinear pendulum

Abstract

This paper deals with the nonlinear oscillation of a simple pendulum and presents not only the exact formula for the period but also the exact expression of the angular displacement as a function of the time, the amplitude of oscillations and the angular frequency for small oscillations. This angular displacement is written in terms of the Jacobi elliptic function sn(u;m) using the following initial conditions: the initial angular displacement is different from zero while the initial angular velocity is zero. The angular displacements are plotted using Mathematica, an available symbolic computer program that allows us to plot easily the function obtained. As we will see, even for amplitudes as high as 0.75π (135• ) it is possible to use the expression for the angular displacement, but considering the exact expression for the angular frequency ω in terms of the complete elliptic integral of the first kind. We can conclude that for amplitudes lower than 135 o the periodic motion exhibited by a simple pendulum is practically harmonic but its oscillations are not isochronous (the period is a function of the initial amplitude). We believe that present study may be a suitable and fruitful exercise for teaching and better understanding the behavior of the nonlinear pendulum in advanced undergraduate courses on classical mechanics. Keywords: simple pendulum, large-angle period, angular displacement.Este artigo aborda a oscilação não-linear de um pêndulo simples e apresenta não apenas a fórmula exata do período mas também a dependencia temporal do deslocamento angular para amplitudes das oscilações e a freqüência angular para pequenas oscilações. O deslocamento angularé escrito em termos da função elíptica de Jacobi sn(u;m) usando as seguintes condições iniciais: o deslocamento angular inicialé diferente de zero enquanto que a velocidade angular inicialé zero. Os deslocamentos angulares são plotados usando Mathematica, um disponível programa simbólico de computador que nos permite plotar facilmente a função obtida. Como veremos, mesmo para amplitudes tão grandes quanto 0,75π (135 o )é possível usar a expressão para o deslocamento angular mas considerando a expressão exata para a freqüência angular w em termos da integral elíptica completa de primeira espécie. Concluímos que, para amplitudes menores que 135 o , o movimento periódico exibido por um pêndulo simplesé praticamente harmônico, mas suas oscilações não são isócronas (o períodoé uma função da amplitude inicial). Acreditamos que o presente estudo possa tornar-se um exercício conveniente e frutífero para o ensino e para uma melhor compreensão do pêndulo não-linear em cursos avançados de mecânica clássica na graduação. Palavras-chave: pêndulo simples, período a grandesângulos, deslocamento angular.Perhaps one of the nonlinear systems most studied and analyzed is the simple pendulum [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12], which is the most popular textbook example of a nonlinear system and is studied not only in advanced but also in introductory university courses of...

Un estudio de la dinámica del péndulo no lineal- A study of the dynamics of the nonlinear pendulum

“…Para ello consideramos dos casos en el que para un desplazamiento angular inicial de , la velocidad angular inicial es cero y . Los resultados obtenidos coinciden con los reportados por Beléndez et al (2007), se observa un movimiento anarmónico a medida que aumenta el tiempo haciéndose más notorio cuando la velocidad angular toma el valor de .…”

“…Los resultados obtenidos coinciden con los reportados por Beléndez et al (2007), el movimiento anarmónico del sistema disminuye en comparación con los resultados reportados en la figura 4. Existe una clara dependencia de la dinámica del sistema con las condiciones iniciales que se imponen sobre el sistema (Schmidt, 2009).…”

“…En particular, si la velocidad angular es nula, , entonces , por lo tanto, de la ecuación (30) se reproduce la fórmula conocida para el péndulo no lineal (Beléndez et al, 2007) (31) Sin embargo, , la integral elíp-tica de primera clase (Arfken, 2001). La ecuación (31) se reescribe:…”

Comparison of Two Experiments Based on a Physical and a Torsion Pendulum to Determine the Mass Moment of Inertia Including Measurement Uncertainties

“…The pendulum equation (cf. (1) apparently simple -is not easy to solve and was investigated in several publications [7,13,14,15]. The deviations due to the linearisation were quantised with regard to the peak excitation angle ϑ s of the pendulum.…”

Sobre a conexão entre alguns modelos físicos não-lineares

“…Material em língua portuguesa que trate fenômenos não-lineares e sólitons pode ser encontrado, como em [25][26][27][28][29], mas não em volume compatível com sua importância e ocorrendo predominantemente na forma de dissertações e teses,por exemplo [30][31][32][33]. Não obstante, vale destacar que a comunidade científica brasileira tem sido bastante ativa nestaárea, inserindo-a em universo bastante abrangente que inclui desde a física de plasmas [34], mecânica estatística, [35][36][37][38][39] e.g., equações diferenciais [40][41][42][43], física matemática [44][45][46][47], altas energias [48,49], etc. Logo, em meio a tantas ocorrências, reforçamos a ideia de que os sistemas não-lineares correspondem a umaárea importante e ativa, merecendo atenção por parte dos estudantes.…”