Exact solutions of the Navier–Stokes equations for describing an isobaric one-directional vertical vortex flow of a fluid

Abstract

The article proposes a family of exact solutions to the Navier–Stokes equations for describing isobaric inhomogeneous unidirectional fluid motions. Due to the incompressibility equation, the velocity of the inhomogeneous Couette flow depends on two coordinates and time. The expression for the velocity field has a wide functional arbitrariness. This exact solution is obtained by the method of separation of variables, and both algebraic operations (additivity and multiplicativity) are used to substantiate the importance of modifying the classical Couette flow. The article contains extensive bibliographic information that makes it possible to trace a change in the exact Couette solution for various areas of the hydrodynamics of a Newtonian incompressible fluid. The fluid flow is described by a polynomial depending on one variable (horizontal coordinate). The coefficients of the polynomial functionally depend on the second (vertical) coordinate and time; they are determined by a chain of the simplest homogeneous and inhomogeneous partial differential parabolic-type equations. The chain of equations is obtained by the method of undetermined coefficients after substituting the exact solution into the Navier–Stokes equation. An algorithm for integrating a system of ordinary differential equations for studying the steady motion of a viscous fluid is presented. In this case, all the functions defining velocity are polynomials. It is shown that the topology of the vorticity vector and shear stresses has a complex structure even without convective mixing (creeping flow).

Exact solutions to the Navier–Stokes equations for describing inhomogeneous isobaric vertical vortex fluid flows in regions with permeable boundaries

“…Движение вязкой несжимаемой жидкости при постоянном давлении в бесконечном горизонтальном слое описывается векторным уравнением Навье-Стокса и скалярным уравнением неразрывности (несжимаемости) [7,8]: После подстановки вектора скорости (3) в уравнения (1) и ( 2) получим следующую систему [7,8]:…”

“…Точное решение уравнения (6) будет далее найдено при помощи модификаций метода разделенных переменных [34][35][36][37][38]. Отметим, что решением уравнения (7) является частный случай (7), описывающий сдвиговое (слоистое) течение типа Куэтта:…”

“…Рассмотрим далее точное решение уравнения (6) в виде многочлена специального вида относительно координаты y [7,8]:…”

“…Точные решения для неоднородных изобарических однонаправленных течений вязкой несжимаемой жидкости были построены в статье [7]. В научной работе [8] были получены точные решения типа Пуазейля и Куэтта-Пуазейля для неоднородных однонаправленных течений.…”

“…В научной работе [8] были получены точные решения типа Пуазейля и Куэтта-Пуазейля для неоднородных однонаправленных течений. Точные решения, анонсированные в [7,8], оказались полезными для построения новых классов точных решений уравнений Навье-Стокса, поскольку позволили обнаружить качественные эффекты, наблюдаемые ранее в двумерных или трехмерных течениях [12][13][14][15][16]. Отметим, что топология однонаправленного поля скоростей для одномерного неоднородного течения типа Куэтта позволила описать стратификацию с несколькими точками покоя [12].…”