Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

Abstract

Résumé. -Nous construisons des exemples de variétés projectives Ω Γ proprement convexes de volume fini, non hyperbolique, non compacte en toute dimension n ⩾ 2. Ceci nous permet au passage de construire des groupes discrets Zariski-dense de SL n+1 (R) qui ne sont ni des réseaux de SL n+1 (R), ni des groupes de Schottky. De plus, l'ouvert proprement convexe Ω est strictement convexe, même Gromov-hyperbolique.Abstract. -We build examples of properly convex projective manifold Ω Γ which have finite volume, are not compact, nor hyperbolic in every dimension n ⩾ 2. On the way, we build Zariski-dense discrete subgroups of SL n+1 (R) which are not lattice, nor Schottky groups.Moreover, the open properly convex set Ω is strictly-convex, even Gromov-hyperbolic. IntroductionUne variété projective proprement convexe est le quotient d'un ouvert ouvert proprement convexe Ω de l'espace projectif réel P n = P n (R) par un sous-groupe discret sans torsion Γ de SL n+1 (R) qui préserve Ω. Lorsque le quotient Ω Γ est compact, ces variétés ont été beaucoup étudiés durant ces dernières années. On pourra lire par exemple les articles suivants : [Ben03a,Ben04,Ben05,Ben06a,Cra09,Gol90]. Pour un survol de l'état du sujet en 2006, on pourra lire [Ben08].Un ouvert proprement convexe de l'espace projectif réel possède une distance (dite de Hilbert) et une mesure (dite de Busemann) invariantes par les transformations projectives qui le préservent. Nous détaillons ces points au paragraphe 1.1, passons plutôt à l'exemple essentiel.L'exemple le plus important d'ouvert proprement convexe est l'ellipsoïde. On considère la forme quadratique q(x 1 , ...., x n+1 ) = x 2 1 + ... + x 2 n − x 2 n+1 sur R n+1 . On note E la projection du cône de lumière de q (i.e. l'ensemble des points {x ∈ R n+1 q(x) < 0}) sur P n . Nous appelerons toute image par une transformation projective de l'ouvert E : un ellipsoïde. Muni de sa distance de Hilbert, un ellipsoïde est isométrique à l'espace hyperbolique réel H n . Il s'agit du modèle projectif de l'espace hyperbolique, que l'on appele parfois modèle de Beltrami-Klein. En particulier, cet ouvert est homogène, c'est-à-dire que le groupe Aut(Ω) = {γ ∈ SL n+1 (R) γ(Ω) = Ω} agit transitivement sur Ω. La figure 1 montre un pavage par une tuile compacte et un pavage par une tuile non compacte mais de volume fini du modèle projectif de l'espace hyperbolique. Théorème. -En toute dimension n ⩾ 2, il existe un couple (Ω n , Γ n ) où Ω n est un ouvert proprement convexe strictement convexe de P n et Γ n un sous-groupe discret de SL n+1 (R) qui préserve Ω n et tel que :⋅ Le quotient Ω n Γn est de volume fini.Le quotient Ω n Γn n'est pas compact. ∴ Le groupe Γ n est d'indice fini dans le groupe Aut(Ω). En particulier, l'ouvert proprement convexe Ω n n'est pas homogène.De plus, l'ouvert Ω n que l'on va construire sera Gromov-hyperbolique et le groupe Γ n sera Zariski-dense dans SL n+1 (R).Remarque 1.1. -Yves Benoist a montré dans [Ben04] que tout ouvert proprement convexe de P n Gromov-hyperbolique est strictement convexe. Karl...

On convex projective manifolds and cusps

“…The thick-thin decomposition was obtained in dimension 2 by Choi [16], where he asked if it could be extended to arbitrary dimensions. During the course of this work, Choi obtained some results similar to some of ours (see [19]), and we learnt of Marquis [41], [40], [39] who has studied finite area projective surfaces and constructed examples of cusped non-hyperbolic real projective manifolds in all dimensions. Recently he and Crampon proved a Margulis lemma [25].…”

“…Therefore there is no bound on the number of isometry (= projective equivalence) classes of strictly convex manifolds with bounded volume. Marquis has similar examples for hyperbolic manifolds with cusps [41].…”

Deformations of noncompact projective manifolds

“…Further work of Benoist [4] shows that these structures are actually strictly convex. In the non-compact case, recent work of Marquis [20] has shown that the projective structures arising from bending remain properly convex in this setting as well.…”

Geometric structures on manifolds

“…The corresponding geometric structures have been shown to be properly convex for manifolds that are closed [40] and compact [42]. In the closed case Benoist showed that the structures are in fact strictly convex [8].…”