Existence and Spatial Decay of Periodic Navier–Stokes Flows in Exterior Domains

Abstract

zeigen. Während Lösungen zu diesen Außsenraumproblemen üblicherweise im Rahmen von homogenen Sobolev-Räumen bestimmt werden, ist die Neuheit des vorgestellten Zugangs, dass er einen Rahmen liefert, in dem Lösungen in vollen Sobolev-Räumen nachgewiesen werden.In Kapitel 4 untersuchen wir Problem (NSG) im dreidimensionalen Außenraum Ω unter geeigneten Annahmen an die Daten. Das zugehörige lineare Problem wird in Räumen absolut konvergenter Fourier-Reihen untersucht. Da das zugehörige Resolventenproblem in klassischen Sobolev-Räumen nicht wohlgestellt ist, leiten wir eine lineare Theorie in homogenen Sobolev-Räumen her. Diese neuen Resultate werden angewandt, um Existenz von zeitperiodischen Lösungen des nichtlinearen Systems (NSG) für "kleine" Daten zu zeigen.In Kapitel 5 untersuchen wir das lineare Problem (LNSG) im Ganzraum Ω = R n für allgemeines λ ∈ R, was wir als Problem auf der lokalkompakten abelschen Gruppe T × R n formulieren. Wir führen zeitperiodische Fundamentallösungen für die Lösungen (u, p) dieser Gleichungen ein. Zusätzlich entwickeln wir das Konzept einer zeitperiodischen Fundamentallösung für die Wirbelstärke curl u. Wir untersuchen Integrabilitätseigenschaften und zeigen punktweise Abschätzungen dieser Fundamentallösungen.Das Thema von Kapitel 6 ist die Untersuchung asymptotischer Eigenschaften von zeitperiodischen Lösungen von (NSG) im Falle nichtverschwindender mittlerer Translationsgeschwindigkeit. Das Geschwindigkeitsfeld wird zerlegt in einen zeitunabhängigen Anteil und einen zeitperiodischen Restterm, und wir leiten separate punktweise Abschätzungen für diese beiden Anteile her. Hierdurch entdecken wir neue asymptotische Eigenschaften sowohl des Geschwindigkeitsfelds als auch der Wirbelstärke.

On the Stokes-type resolvent problem associated with time-periodic flow around a rotating obstacle

“…Since (4.5) is a problem in the locally compact abelian group G := T × R 3 , we work with multiplier arguments in this group framework. This is more involved compared to the usual Euclidean setting, and for a detailed introduction to this theory, with a focus on the analysis of the Navier-Stokes equations, we refer to the book chapter [6] as well as to the monographs [26,5]. The main tool for the derivation of L q multiplier estimates is the so-called transference principle for multipliers, which goes back to de Leuuw [2] and was generalized by Edwards and Gaudry [3, Theorem B.2.1].…”

Navier-Stokes Flow past a Rigid Body that Moves by Time-Periodic Motion

“…More recently, the general problem of existence and uniqueness was investigated and successfully settled by several authors [3,4,5,6,8,12,13,18,20,21,24,26,34,35], with approaches and in classes of solutions different from those of [15]. However, unlike [15], all results there established hold under hypotheses on ξ and ω that are rather more restrictive than just their regularity and smallness.…”

“…Still keeping ω ≡ 0, in [9,10] the assumption on ξ was relaxed by requiring ξ to be only regular enough and "small." In [3,6] the request ω ≡ 0 is weakened to ω = const., but on condition that ξ = 0 and the period of ξ and b is equal to 2πκ/|ω|, for some κ ∈ Q\{0}. Moreover, at all times, ξ(t) must be parallel to the (constant) direction of ω, with sup t |ξ(t)|, sup t |ξ(t) − ξ| and |ω| "small" enough.…”

“…However, this approach requires ξ and ω to be constant in time, parallel and "small." Nevertheless, unlike [3], no restriction is imposed on the period T .…”

“…The main goal of this paper is to prove existence, uniqueness and asymptotic spatial behavior of T -periodic solutions to (1.1), under assumptions on ξ and ω that are much more general than those requested in all papers cited above. 3 Precisely, ξ and ω are given T -periodic functions that, besides some regularity and "smallness", satisfy the following condition:…”