Existence of a Degenerate Singularity in the High Activation Energy Limit of a Reaction–Diffusion Equation

Weiss, Georg S.; Zhang, Guanghui

doi:10.1080/03605300903338322

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“…Assim, uma questão fundamental nesta aplicaçãoé a preservação dos pontos singulares (pontos onde o campo de velocidades se anula) definidos pelo usuário, na solução estacionária da equação de difusão-reação. Este fatoé importante visto que tais singularidades são fundamentais para caracterizar as diferentes topologias dos campos vetoriais em R n[13].Estudos envolvendo singularidades e modelos de difusão-reação são conhecidos no contexto da equação de Fourier[5], teoria de perturbação[14], cinemática de sistemas mecânicos[14], dentre outros. Porém, não temos conhecimento de trabalhos analisando preservação de singularidades em soluções de modelos de EDPs para sistemas de difusão-reação.…”

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Sistemas do Tipo Difusão-Reação e Preservação de Pontos Singulares

Judice

Santos

Koscheck

et al. 2021

TCAM

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Recebido em 25 de junho de 2020 / Aceito em 11 de janeiro de 2021 RESUMO. Motivados por aplicações recentes em computação gráfica, este trabalho apresenta um estudo teórico e computacional de sistemas de difusão-reação baseados no Gradient Vector Flow (GVF), com foco no comportamento do GVF em relaçãoàs singularidades do campo inicial. O estudo teórico parte de uma análise local, independente de condições de fronteira. Em seguida, supõe-se condição de fronteira no infinito e usa-se análise de Fourier para estabelecer condições suficientes para preservação do ponto singular. Finalmente, supõe-se um domínio compacto, com geometria retangular, e analisa-se a preservação de um ponto singular em relaçãoà condição de fronteira usando um método de solução de equações diferenciais parciais (EDPs) baseado em wavelets de Haar. Desenvolvemos também uma implementação de um método direto para a equação estacionária do GVF baseado em diferenças finitas (DF) para comparar com a solução tradicional do Euler explícito, no que diz respeito a singularidade.É discutida a influência da vorticidade no problema de interesse usando a função de linhas de corrente e equação de Helmholtz. Nos experimentos computacionais, consideramos duas condições de fronteira, dois tipos de singularidades e os três métodos numéricos (Euler explícito, diferenças finitas para a equação estacionária, e wavelets) para verificar os resultados teóricos obtidos.

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Sistemas do Tipo Difusão-Reação e Preservação de Pontos Singulares

Judice

Santos

Koscheck

et al. 2021

TCAM

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Rectifiability, finite Hausdorff measure, and compactness for non‐minimizing Bernoulli free boundaries

Kriventsov,

Weiss

2024

Comm Pure Appl Math

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While there are numerous results on minimizers or stable solutions of the Bernoulli problem proving regularity of the free boundary and analyzing singularities, much less is known about critical points of the corresponding energy. Saddle points of the energy (or of closely related energies) and solutions of the corresponding time‐dependent problem occur naturally in applied problems such as water waves and combustion theory. For such critical points —which can be obtained as limits of classical solutions or limits of a singular perturbation problem—it has been open since (Weiss, 2003) whether the singular set can be large and what equation the measure satisfies, except for the case of two dimensions. In the present result we use recent techniques such as a frequency formula for the Bernoulli problem as well as the celebrated Naber–Valtorta procedure to answer this more than 20 year old question in an affirmative way: For a closed class we call variational solutions of the Bernoulli problem, we show that the topological free boundary (including degenerate singular points , at which as ) is countably ‐rectifiable and has locally finite ‐measure, and we identify the measure completely. This gives a more precise characterization of the free boundary of in arbitrary dimension than was previously available even in dimension two. We also show that limits of (not necessarily minimizing) classical solutions as well as limits of critical points of a singularly perturbed energy are variational solutions, so that the result above applies directly to all of them.

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Existence of a Degenerate Singularity in the High Activation Energy Limit of a Reaction–Diffusion Equation

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