Explorando sistemas hamiltonianos: estudo analítico

Abstract

Um pêndulo duplo submetido a torques externosé usado para introduzir alguns fundamentos da teoria de Sistemas Dinâmicos para os cursos de graduação em Física, logo após o aluno ter cursado a disciplina de mecânica analítica. Este sistema mostra-se um bom exemplo para a introdução de tais técnicas. As equações de movimento de Hamilton indicam a existência de soluções estacionárias (pontos de equilíbrio) no espaço de fase do modelo. A identificação da natureza desses pontos de equilíbrio permite a descrição da dinâmica do sistema na vizinhança linear destes. Além disso, os resultados obtidos na vizinhança linear de um ponto de equilíbrio não são alterados pela introdução de torques externos constantes não-nulos. Neste trabalho enfatiza-se a análise da vizinhança linear dos pontos de equilíbrio. Palavras-chave: sistemas hamiltonianos, teoria de sistemas dinâmicos, caos.A double pendulum submitted to external torques is employed to introduce some basic fundamentals of dynamical systems theory to physics undergraduate courses, soon after the student takes the analytical mechanics discipline. This system is a good example for the introduction of such techniques. Hamilton's equations of motion indicate the existence of stationary solutions (equilibrium points) in the phase space of the model. The identification of the nature of these points allows the description of the system dynamics around their linear neighborhood. Moreover, qualitative results obtained in the linear neighborhood of a fixed point are not changed by the introduction of non-vanishing constant external torques. This work emphasizes the analysis of the linear neighborhood of the equilibrium points. Keywords: hamiltonian systems, dynamical systems theory, chaos. IntroduçãoNo decorrer dos cursos de graduação em Física, o estudante de bacharelado se depara com um grande número de teorias destinadas a explicar diferentes fenômenos, muitos dos quais descritos por sistemas de equações diferenciais. Para isso torna-se necessário o uso de diversos métodos matemáticos que possibilitem solucionar os problemas oriundos da complexidade destas equações. Além disso, existem determinados sistemas que apresentam uma grande sensibilidade a mudança nas condições iniciais. Em outras palavras, uma pequena mudança no estado inicial do sistema, leva a diferentes configurações após um certo intervalo de tempo, conforme observado primeiramente [1] por Poincaré em 1903. Dizemos então que tais sistemas são caóticos. Como exemplos de sistemas com tal comportamento podemos citar: sistemas de três corpos; osciladores bidimensionais forçados; modelos cosmológicos de Friedmann-Robertson-Walker; pêndulo com mola; pêndulo duplo no plano e muitos outros. A representação de muitos destes sistemas pode ser feita através do formalismo Hamiltoniano. E por esse motivo daremosênfase aos sistemas Hamiltonianos.Para sistemas que apresentam esse tipo de comportamento, o uso de técnicas de sistemas dinâmicos [2, 3] na descrição do comportamento regular/caótico do sistema tem se mostrado de grand...