Extension of torsors and prime to p fundamental group scheme

Abstract

Let R be a discrete valuation ring. Let X be a proper and faithfully flat R-scheme, endowed with a section x ∈ X(R), with integral and normal fibres. Let f : Y → Xη be a finite Nori-reduced G-torsor. In this paper we provide a useful criterion to extend f : Y → Xη to a torsor over X. Furthermore in the particular situation where R is a complete discrete valuation ring of residue characteristic p > 0 and X → Spec(R) is smooth we apply our criterion to prove that the natural morphismbetween the prime-to-p fundamental group scheme of Xη and the generic fibre of the prime-to-p fundamental group scheme of X is an isomorphism. This generalizes a well known result for the étale fundamental group. The methods used are purely tannakian.Résumé. -Soit R un anneau de valuation discrète. Soit X un R-schéma propre et fidèlement plat, muni d'une section x ∈ X(R), ayant des fibres intègres et normales. Soit f : Y → Xη un G-torseur fini et Nori-réduit. Dans cet article on introduit une condition suffisante pour étendre f : Y → Xη en un torseur au dessus de X. De plus, lorsque R est complet de caractéristique résiduelle p > 0 et X → Spec(R) est lisse, nous utilisons notre méthode pour démontrer que le morphisme naturel ψ (p ) : π(Xη, xη) (p ) → π(X, x) (p ) η entre la partie première à p du schéma en groupe fondamental de Xη et la fibre générique de la partie première à p du schéma en groupes fondamental de X est un isomorphisme. Cela généralise un résultat bien connu pour le groupe fondamental étale. Les méthodes utilisées sont purement tannakiennes.