Fields of u-Invariant 2 r + 1

Équivalence motivique des groupes algébriques semisimples

“…Une des incarnations les plus frappantes de ce phénomène est le critère de Vishik d’équivalence motivique des quadriques, qui stipule que le motif de deux quadriques sont isomorphes si et seulement si les formes quadratiques associées sont de même dimension et si leur indices de Witt coincident sur toute extension de leur corps de définition (on renvoit à [Kah06, Kah08] pour un panorama de la théorie de Vishik). Les connexions profondes entre motifs et invariants discrets associés aux groupes semisimples ont permis la résolution de nombreux problèmes classiques, notamment les conjectures de Hoffmann [Kar03] et Kaplansky [Vis10] de la théorie algébrique des formes quadratiques. L’étude des décompositions motiviques est en outre l’unique invariant connu permettant de détecter la dimension -canonique des variétés [Kar10a].…”

Motivic Steenrod operations in characteristicp

“…In [32], Vishik constructed characteristic 0 fields of -invariant 2 + 1 for all ≥ 3. Karpenko used Steenrod squares on mod 2 Chow groups to show that for any ≥ 3 and any field of characteristic ≠ 2, is contained in a field of -invariant 2 + 1 [19].…”

Book Review: Introduction to quadratic forms over fields

“…The method used by Merkurjev, called index reduction, uses the theory of central simple algebras, and also relies on algebraic geometric techniques. More recently, Izhboldin [5] and Vishik [22] proved that odd integers also occur as u-invariants: Izhboldin constructed fields with u-invariant 9, and Vishik fields with u-invariant 2 n + 1 for any n ≥ 3. The method of Vishik uses tools from algebraic geometry.…”