Finiteness of de Rham cohomology in rigid analysis

Grosse-Klönne, Elmar

doi:10.1215/s0012-7094-02-11312-x

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“…Since N → L is quasi-dagger, we may assume, after passing to a finite covering, that N → L is associated with a closed immersion N 0 → L 0 into a reduced and irreducible affinoid dagger space L 0 . As explained in [13] 0.1, the results of [4] 1.10, [21] imply resolution of singularities for affinoid dagger spaces. Performing a resolution of singularities in our situation, we may in view of 2.2 and the induction hypothesis assume that L 0 is smooth.…”

Section: Finiteness and Formal Modelsmentioning

confidence: 80%

“…Performing a resolution of singularities in our situation, we may in view of 2.2 and the induction hypothesis assume that L 0 is smooth. But in this case we can apply [13] 3.5, 3.6 to conclude.…”

Section: Finiteness and Formal Modelsmentioning

confidence: 98%

“…The classical idea from the paper [19] of Monsky and Washnitzer to remedy this is to use only overconvergent power series for the definition of H * dR (X). In [12] we introduced a category of 'rigid spaces with overconvergent structure sheaf' which we called k-dagger spaces, and in [13] we proved that H * (Y, • Y ) for many smooth k-dagger spaces Y is indeed finite dimensional. Moreover, in [12] we associated to a k-dagger space functorially a k-rigid space with the same underlying G-topological space.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…In section 3 we specialize to the case where k = Frac(R) with a complete discrete valuation ring R of mixed characteristic, with residue fieldk. From [13] we derive the finiteness of H * dR (X) for a big class of k-rigid spaces X. We explain how the rigid cohomology, defined by Berthelot in [2], of a finite typek-scheme Y can be expressed (or: be redefined) as the de Rham cohomology of the tube of Y in a smooth formal R-scheme with an embedding of Y .…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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De Rham cohomology of rigid spaces

Grosse-Klönne

2004

Mathematische Zeitschrift

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Section: Finiteness and Formal Modelsmentioning

confidence: 80%

Section: Finiteness and Formal Modelsmentioning

confidence: 98%

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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De Rham cohomology of rigid spaces

Grosse-Klönne

2004

Mathematische Zeitschrift

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“…Berthelot a démontré qu'elle vérifiait la propriété de finitude pour les variétés lisses ou propres [7], ainsi que la dualité de Poincaré et la formule de Künneth [6] ; le théorème de finitude a ensuiteétéétendu aux variétés quelconques par Grosse-Klönne [17]. Dans cet article, nousétudions les classes de Chern et les classes de cycles.…”

Section: Introductionunclassified

Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie rigide

Denis¹

2003

Bul. Soc. Math. France

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Résumé. -Nous construisons dans cet article les classes de Chern et les classes de cycles en cohomologie rigide. Nous démontrons par la suite que ces constructions vérifient bien les propriétés attendues. La cohomologie rigide est donc une cohomologie de Weil. Abstract (Chern classes and cycle classes in rigid cohomology)We define in this article Chern classes and cycle classes in rigid cohomology. Then we prove that these constructions verify the expected properties. The rigid cohomology is a Weil cohomology. [8]. Cependant, il semble difficile de définir la cohomologie rigide d'un topos classifiant en utilisant la définition basée sur des plongements. Après s'être ramené au cas des variétés propres, nous utiliserons une définition de la cohomologie rigide basée sur les topos cristallin de niveau m. Nous réinterprétons alors le calculà base de cocycle précédant de manière cristalline ce qui permet de le généraliser au cas des variétés simpliciales. On achève la démonstration de l'additivité en suivant [8]. Nous en profitons pour construire des classes de Chernà valeurs dans la cohomologie cristalline de niveau m. Pour les classes de cycles, le morphisme trace peut-être vu comme unélément de l'homologie rigide -dual de la cohomologie rigideà support compact. On appelle cetélément la classe fondamentale. Les classes de cycles se définissent alors par fonctorialité et linéarité. On montre alors que cela correspondà l'image de 1 par le morphisme de Gysin, ce qui permet de prouver que si D est un diviseur d'une variété lisse, la classe ainsi définie estégaleà la classe du pseudo-diviseur associéà D. On en déduit la compatibilité des classes de cyclesà l'équivalence rationnelle.Précisons les différentes parties de l'article. Nous commencerons par un chapitre préliminaire, dans lequel on trouvera des rappels sur la définition de la cohomologie rigide ainsi que sur ses propriétés. Nous en profiterons pour faire aussi quelques rappels sur les cycles et leurs intersections, en particulier pour les variétés singulières. CLASSES DE CHERN ET CLASSES DE CYCLES EN COHOMOLOGIE RIGIDE 61Dans la deuxième partie, nous définirons l'homologie rigide (les classes de cycles se définissent naturellement dans l'homologie et non la cohomologie si on s'intéresseà des variétés singulières). Nous montrerons alors comment on peut,à partir des propriétés de la cohomologie rigide, montrer que l'on a un formalisme de théorie de dualité de Poincaré au sens de Bloch-Ogus [10] : nous exhiberons la construction de la classe fondamentale d'une variété intègre qui sera la base de la définition des classes de cycles. Toutes les constructions de cette partie sont formelles.Dans la troisième partie, nous construirons, par un calcul de cocycles, la classe de cohomologie associéeà un pseudo-diviseur. On commencera par traiter le cas des variétés propres pour s'intéresser par la suite aux variétés ouvertes. C'est cette construction qui est le coeur de cet article.Dans la partie 4, nous définirons la première classe de Chern d'un fibré inversible comme u...

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The Relative (de-)Perfectoidification Functor and Motivic p-Adic Cohomologies

Vezzani

2022

Infosys Science Foundation Series

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Finiteness of de Rham cohomology in rigid analysis

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De Rham cohomology of rigid spaces

De Rham cohomology of rigid spaces

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