Fixed points in compactifications and combinatorial counterparts

Abstract

The Kechris-Pestov-Todorcevic correspondence connects extreme amenability of topological groups with Ramsey properties of classes of finite structures. The purpose of the present paper is to recast it as one of the instances of a more general construction, allowing to show that Ramsey-type statements actually appear as natural combinatorial expressions of the existence of fixed points in certain compactifications of groups, and that similar correspondences in fact exist in various dynamical contexts. Résumé.-La correspondance de Kechris-Pestov-Todorcevic établit une relation entre la moyennabilité extrême des groupes topologiques et les propriétés de type Ramsey de certaines classes de structures finies. Le but de cet article est de la resituer comme une instance particulière d'une construction plus générale, permettant ainsi de montrer que des énoncés de type Ramsey apparaissent en fait comme l'expression combinatoire naturelle de l'existence de points fixes dans certaines compactifications de groupes, et que des correspondances similaires sont en réalité présentes dans toute une variété de contextes dynamiques.

More on tame dynamical systems

“…For example, this is the case for every locally compact noncompact G. On the other hand, many interesting massive Polish groups are extremely amenable that is, having trivial M (G). See for example [63,64,74,76]. The first example of a nontrivial yet metrizable M (G) was found by Pestov.…”