Flatness of Two-Input Control-Affine Systems Linearizable via One-Fold Prolongation

Normal forms for multi‐input flat systems of minimal differential weight

“…Therefore, in this case, for each fixed x ∈ X , the singular controls U sing ( x ) form a union of μ affine hyperplanes in , where 0 ≤ μ ≤ m − 1 is the number of distinct real roots of the polynomial . It follows that, if m is even, then flatness of differential weight n + m + 1 (for k = 0) always creates singularities in the control space (in the particular case of two controls m = 2, the singular set is an affine line in , see the work of Nicolau and Respondek), but if m is odd, then singularities of control may be absent; see the following example for which, for simplicity, we suppose m = 3.…”

Eine Normalform für eine spezielle Klasse flacher nichtlinearer Mehrgrößensysteme in Pfaffscher Systemdarstellung

“…, 2 2 } besitzt einen vertikalen Annihilator der Form ( (1) ) ⊥ = span{ 0 , 1 } -dies bedeutet, dass die Variablen 0 und 1 nicht als Differentiale auftreten und somit als Eingänge für (1) in Betracht kommen. Darüber hinaus kommen die Variablen 0 und 1 im System (2) gar nicht vor, siehe (14) und (12). Die Variablen…”

“…. , , bilden nun eine Verallgemeinerung zu (12). Wir benutzen wieder die Partition der Koordinaten wie in (6), wobei hier der Index anders zu interpretieren als in (12) Dies wird aber (sofern möglich) nur für Systeme gelingen, bei welchen der flache Ausgang nicht von den Ableitungen der Eingangsgröẞen abhängt, dies folgt, da der flache Ausgang in enthalten ist, nämlich genau die in der Dekomposition (6).…”

“…Wir betrachten das folgende Modell eines Induktionsmotors wie in [3,12], wobei 0 mit Ein weiterer flacher Ausgang, welcher auch durch ein anderes Verfahren in [12] hergeleitet wurde, folgt durch eine Koordinatentransformation basierend auf dem Fluss von (16) transformiert, wobei die Subsysteme 1, und 2, durch explizite Differentialgleichungen beschrieben werden kön-nen, jedoch das System 2 implizit ist. Da ( 2 ) ⊥ = span{ 1 , 2 } nicht involutiv ist, existiert gemäẞ Theorem 2 keine Transformation um 2 als explizite Differentialgleichung darzustellen.…”

“…, und es gilt dim( ) = dim(̂− 1 ).Die spezielle Wahl für und die Vektoren garantiert, dass analog zu(12) wieder eine Triangularisierung erreicht wird. Im Gegensatz zu(12), wo ausschlieẞlich explizite Differentialgleichungen verwendet werden, machen wir hier von impliziten Differentialgleichungen Gebrauch. Analog zu den Beziehungen (13) und(14), welche das System (12) charakterisierten, gelten nun folgende Beziehungen für das System = span{ , .…”