Folding back and the dynamical growth of mathematical understanding: Elaborating the Pirie–Kieren Theory

Relationship Between Middle School Students' Mathematical Understanding and Mathematical Attitude

“…Bireyin bir şeyi anlaması için, o konu ile ilgili zihnine getirdiği her şey onun ilkel bilgisi (Thom ve Pirie, 2006) olarak ifade edilmektedir. Görüntü oluşturma katmanında öğrenen, öğrendiği kavramın ne hakkında olduğuyla ilgili bir fikir sahibi olmakta ve özel temsilleri geliştirmekte kendisine yardımı olan etkinliklerle meşgul olmaktadır (Martin, 2008). Öğrenenler, bir önceki katmandaki eylemler arasındaki ayrımları yapmaya başlar.…”

“…Öğrenenler aritmetikte kesirlerin, bölmeden gelen kalan değerini gösterdiğini söyleyebilirler (Meagher, 2005). Öğrenen bu katmanda bir etkinliğe uzun süre bağlı değildir (Martin, 2008). Örneğin, bu katmandaki öğrenciler artık, = 3 + 4 denkleminin grafiğini çizmeden, bu denklemin bir doğru denklemi olduğunu bilmektedirler (Martin ve Pirie, 2003).…”

“…Örneğin öğrenenler, denk kesirlerin pay ve paydanın aynı sayıyla çarpılması ile meydana geldiğini söyleyebilirler (Meagher, 2005). Öğrenenin anlaması hakkında soru sorabildiği ve konu hakkında daha genel ne söyleyebileceğini aradığı, kendi derin düşünce eylemidir (Martin, 2008). Örneğin, bu katmandaki öğrenciler, = denklemine ait tüm grafiklerin (0,0) noktasından geçtiğini bilmektedirler (Martin ve Pirie, 2003).…”

From Data Through Coding Toward Categorizing: Negotiating Data Analysis in Constructivist Grounded Theory

“…But at the same time, it also creates a classroom conducive to the collaborative solving of problems. (Pirie, 1996, p. xv) Almost twenty years later, this comment still remains as relevant as ever and in this paper, through a particular focus on the notion of folding back (Martin, 1999(Martin, , 2001(Martin, , 2008, I will present some of my research into how we might usefully describe and theorize the growth of mathematical understanding-initially at the level of the individual, more recently at that of the collective-and also consider the complex place of the teacher within the process of laying down paths of understanding.…”

Toward Students' Full Understanding of Trigonometric Ratios

“…There are many studies (Pirie & Kieren, 1989;1995;Martin, 2008;Conzales Astudillo, Codes, Delgado & Monterrubio, 2012) related to the students' understanding of mathematical concepts. These studies show that the growth of understanding is not linear, but they have a basic assumption that exists in the levels (or layers) of understanding concepts, that is, the higher level of understanding needs the lower level of understanding.…”