Free and Forced Vibrations of Elastically Connected Structures

Abstract

A general theory for the free and forced responses of elastically connected parallel structures is developed. It is shown that if the stiffness operator for an individual structure is self-adjoint with respect to an inner product defined for , then the stiffness operator for the set of elastically connected structures is self-adjoint with respect to an inner product defined on . This leads to the definition of energy inner products defined on . When a normal mode solution is used to develop the free response, it is shown that the natural frequencies are the square roots of the eigenvalues of an operator that is self-adjoint with respect to the energy inner product. The completeness of the eigenvectors in is used to develop a forced response. Special cases are considered. When the individual stiffness operators are proportional, the problem for the natural frequencies and mode shapes reduces to a matrix eigenvalue problem, and it is shown that for each spatial mode there is a set of intramodal mode shapes. When the structures are identical, uniform, or nonuniform, the differential equations are uncoupled through diagonalization of a coupling stiffness matrix. The most general case requires an iterative solution.

Energy decay and control for a system of strings elastically connected in parallel

“…Consider the system with and . System can be used to describe the transverse vibrations of n homogenous strings elastically connected in parallel (see Oniszczuk and Kelly). The matrix A is called coupling matrix and, here, it is assumed to be a real diagonalizable matrix with positive eigenvalues 0< λ 1 ≤ … ≤ λ n .…”

Free Vibrations of a Series of Beams Connected by Viscoelastic Layers

“…Kelly [8] developed a general theory for the exact solution of free vibrations of elastically coupled structures without damping. The structures may have different properties or even be nonuniform but they have the same support.…”

Frequências E Autofunções Do Sistema De Duas Cordas Acopladas

“…O acoplamento de estruturas como cordas, vigas, cabos, é frequentemente usado em estruturas como pontes, prédios e edificações em geral. O estudo de sistemas desse tipo em termos de segurança e também estabilidade é importante não só em engenharia civil, mas também nas engenharias mecânica e aeronáutica, dentre outras, motivo pelo qual, existem vários estudos sobre esse tema, Foda (2013), Oniszczuk (2000a), Kelly (2011). Kelly (2011) apresentou a resposta livre e forçada para um sistema com n estruturas elasticamente acopladas usando a ortogonalidade dos modos de vibração com operadores autoadjuntos em relação ao produto interno padrão.…”

“…O estudo de sistemas desse tipo em termos de segurança e também estabilidade é importante não só em engenharia civil, mas também nas engenharias mecânica e aeronáutica, dentre outras, motivo pelo qual, existem vários estudos sobre esse tema, Foda (2013), Oniszczuk (2000a), Kelly (2011). Kelly (2011) apresentou a resposta livre e forçada para um sistema com n estruturas elasticamente acopladas usando a ortogonalidade dos modos de vibração com operadores autoadjuntos em relação ao produto interno padrão. Um sistema com duas cordas elasticamente acopladas sob ação de uma força externa movendo-se a uma velocidade constante foi apresentado em Rusin et al (2011), onde o autor considerou a forma adimensional do sistema e supôs uma solução em série de senos para o sistema desacoplado.…”