Funzioni reali uniformemente separate negli spazii uniformi ed applicazioni agli spazii normali

Abstract

Sunto. -~ contenuto nell'introduzione. INTRODUZIONEDi recente M. KATETOV (i) [6] ed H. To~e~ [8], estendendo agli spazii normalt un risultato di H. HAHN,[4], hanno dimostrato ehe:(I). Se f e g sono funzioni reali semicontinue, la prima superiormente e la seconda inferiormente, hello spazio normale E e risulta f <~ g in E, esiste uaa funzione reale h continua in E tale the sia f< h < g in E.Ancora in [6], KATETOV ha stabilito che: (II). Se f ~ una funzione reate limitata ed uniformemente continua nell' insieme A dello spazio uniforme E, esiste una funzione reale f uniformemente continua in E, avente in E gli stessi estremi ehef ha in A e tale che per ogni x e A sia f(~) = t~x).Poich6 la (I) implica un ben note teorema di prolungamento di URYS~O~, si 6 condotti a chiedersi se il teorema di prolungamento (II)di KAT~TOV non possa farsi conseguire da una propriet/~ the, negli spazii uniformi sostituisoa quella che per gli spazii normali 6 espressa dalla (I).A cib si risponde nella presente Nota introducendo (n. 1, def. 1) le (< coppie di funzioai reali aniformemente separate in uno spazio uniforme, e stabilendo per esse delle propriet/~ che non sembra siano state gik rJlevate. Tra le couseguenze di queste figurano, non solo la prop. (II), come richiesto, ma anche, con opportuni aceorgimenti, la prop. (I), beninteso, con riferimento a spazii uormali non neeessariamente uniformizzabili. Quest'uitima circostanza si verifica, appunto, perch6 le funzioni f e g di cut in (I) sono uniformemente separate rispetto ad uua eonveniente struttura uniforme che pub definirsi su ogni spazio normale, senza alcun intervento diretto o indiretto del lemma e del teorema di URYSHON, ma con un metodo puramente <, set theoretic>>, secondo la terminologia degli autori di lingua inglese: detti lemma e teorema (l) I numeri indieati in [] si riferiscono alla Bibliografia riportata in fine della presente l~ota. AM~i d~ Ma~mat~ 5t402 G. AQv2d¢o : l~unzioni rca[i u~iformemente .veparate negli spazii, ece.di URYSHO~, al contrario, a causa della (I), ne sono conseguenze. Cib fa intravvedere la possibilit~ di subordinare parti notevoli della teoria degli spazii normali a quella degli spazii uniformi la cui importanza i~ sempre crescente in Topologia Generale. Una estensione agli spazi uniformi compatti di un risaltato W. SI~RPINSKI [7], che generalizza i| teorema di uniforme continuith di CA~TOl~, fornisce an ulteriore esempio di topple uniformemente separate.Per ragioni di brevith, salvo nei casi volta per volta specificati, per la terminologia ed il simbolismo qui usati si rimanda a [1], [2] e [3].Va ben rilevato, perb, che nella presente Nora, spazii normali e spazii compatti non si suppongono separati, cio~ di HAUSDORFF, eontrariamente a quanto b fatto in [2] ed in [3]. In altri termini supponiamo compatto o normale ogni spazio topologico ehe oltre ai consueti assiomi di spazio topologico ~0~) ed (0,~} di [2], verifichi rispettivamente l'assioma di BOREL-LEB]~S~UE, o, (C) di [2], oppure l'assioma (0'v) di [3].Si tonga presente, inoltre, che il ter...