Gelfand-Kirillov dimension and the $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence

Abstract

We bound the Gelfand-Kirillov dimension of unitary Banach space representations of p-adic reductive groups, whose locally analytic vectors afford an infinitesimal character. We use the bound to study Hecke eigenspaces in completed cohomology of Shimura curves and p-adic Banach space representations of the group of units of a quarternion algebra over Qp appearing in the p-adic Jacquet-Langlands correspondence, deducing finiteness results in favourable cases.

Factorization de la cohomologie étale p-adique de la tour de Drinfeld

“…Les (U max A × f ∩t i G(E)t −1 i )/E × sont des groupes finis, et on note N le produit des cardinaux de ces groupes finis. Le lemme 8.2 de [24] montre l'existence d'une place finie w 1 de E telle que N(w 1 ) soit premier avec 2N p et non congru à 1 modulo p, et telle que le quotient des valeurs propres de ρ(Frob w1 ) ne soit pas 1 ou N(w 1 ) ±1 . On fixe une telle place w 1 et on définit un sous-groupe ouvert compact U de G(A f ) par…”

“…). Le lemme 7.4 de [24] combiné avec la trivialité de S 1 (1) (qui vient simplement du fait que le faisceau associé à la représentation triviale est le faisceau constant, qui a une cohomologie nulle en degré 1 sur P 1 ) montre que le terme à gauche est nul. Celui à droite l'est aussi : il suffit de voir que H 2 (SL 2 (Q p ), F p ) = 0.…”

Representations of $p$-adic groups over coefficient rings

“…The mod p Jacquet-Langlands correspondence is a canonical map from the admissible mod p representations of GL(n, F ) to the admissible mod p representations of D * n having a continous action of Gal(F ac /F ). For F = Q p and n = 2, it is studied in (Dospinescu-Paskunas-Schraen [54]).…”

“…For F of characteristic 0, R a finite field of characteristic p, K a uniformly powerful open pro-p subgroup of G, K i the closed subgroup of K generated by {k p i , k ∈ K} for i ≥ 1, and V an admissible R-representation of G, there is a positive integer δ V not depending on the choice of K and positive real numbers a ≤ b, such that (Calegari-Emerton [24], Emerton-Paskunas [64], Dospinescu-Paskunas-Schraen [54]):…”