Generalized Hénon Maps and Smale Horseshoes of New Types

Abstract

We study hyperbolic dynamics and bifurcations for generalized Hénon maps in the form x = y, y = γy(1 − y) − bx + αxy (with b, α small and γ > 4). Hyperbolic horseshoes with alternating orientation, called half-orientable horseshoes, are proved to represent the nonwandering set of the maps in certain parameter regions. We show that there are infinitely many classes of such horseshoes with respect to the local topological conjugacy. We also study transitions from the usual orientable and nonorientable horseshoes to half-orientable ones (and vice versa) as parameters vary.

On classification of classical and half-orientable horseshoes in terms of boundary points

“…Такие подковы были обнаружены совсем недавно, см. [1,2], в связи с исследованием вопросов гиперболической динамики обобщенных отображений Эно вида x = y,ȳ = γy(1 − y) − bx + αxy, (x, y) ∈ R 2 ,…”

“…при малых значениях параметров b и α и достаточно больших γ. Мы будем использовать аббревиатуру GHM (от Generalized Hénon Map) для обозначения отображения (1). Как показано в [1], GHM при любом фиксированном γ > 4 и достаточно малых α и b имеет так называемую геометрическую подкову Смейла.…”

“…Как показано в [1], GHM при любом фиксированном γ > 4 и достаточно малых α и b имеет так называемую геометрическую подкову Смейла. Последнее означает, в частности, что существует такой квадрат Q β = [−β, 1+ β] × [−β, 1+ β], где β = β(α, b) → +0 при (α, b) → 0, который под действием отображения (1) отображается в фигуру, напоминающую подкову, но, в отличие от классических подков, имеющую вырожденную точку («точку коллапса», см.…”

“…2 шестью типами подков. Если же рассматривать эндоморфизмы или диффеоморфизмы двумерных неориентируемых многообразий, то, как было установ-лено в [1], в этом случае существует бесконечное множество различных подков, которые принадлежат классу так называемых полуориентируемых подков.…”

“…6 и 11). По всей видимости, их теория начала разрабатываться в работе [1], в которой такие подковы были, собственно, и обнаружены в GHM.…”