Gibbs measures on subshifts

Kimura, Bruno

doi:10.11606/d.45.2019.tde-28062019-073823

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“…The purpose of the present article is to show that the two notions of Gibbs measure recalled above coincide in some generality. Our results build on those of Kimura [11], who proves two results relevant here. The first is that every conformal measure, with respect to an appropriately regular potential, satisfies the DLR equations for that potential.…”

Section: Introductionsupporting

confidence: 90%

“…ζ∈A Λ e fm(ζx Λ c ) 1 X (ζx Λ c ) These are the DLR equations as found in Kimura [11]. Applying Theorem 5 therefore shows that any DLR measure with respect to a potential f ∈ ShReg(X) is necessarily (φ f , T X )-conformal, providing the full converse for Kimura's result described in the introduction.…”

Section: It Is Convenient To Definesupporting

confidence: 52%

“…That is, ψ ω,η exchanges ω and η, wherever possible, and otherwise does nothing. These involutions were considered in [12] and [11], for slightly different purposes.…”

Section: Cocycles and The Gibbs Relation: Definitions And Propertiesmentioning

confidence: 99%

“…We prove this result for arbitrary subshifts with finite alphabet on an arbitrary countable group. The results of Kimura and Sarig in the forward direction (conformal implies DLR) can also be generalized to our setting; in §3, we mention the idea for the proof but refer readers to [11] for the details in Kimura's setting, as the proof strategy changes very little.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 97%

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Conformal measures and the Dobrushin-Lanford-Ruelle equations

Borsato¹,

MacDonald²

2020

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We demonstrate the equivalence of two definitions of a Gibbs measure on a subshift over a countable group, namely a conformal measure and a Gibbs measure in the sense of the Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR) equations. We formulate a more general version of the classical DLR equations with respect to a measurable cocycle, which reduce to the classical equations when the cocycle is induced by an interaction or a potential, and show that a measure satisfying these equations must be conformal. To ensure the consistency of these results with earlier work, we review methods of constructing an interaction from a potential and vice versa, such that the interaction and the potential constructed from it, or vice versa, induce the same cocycle.

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Section: Introductionsupporting

confidence: 90%

Section: It Is Convenient To Definesupporting

confidence: 52%

“…That is, ψ ω,η exchanges ω and η, wherever possible, and otherwise does nothing. These involutions were considered in [12] and [11], for slightly different purposes.…”

Section: Cocycles and The Gibbs Relation: Definitions And Propertiesmentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

confidence: 97%

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Conformal measures and the Dobrushin-Lanford-Ruelle equations

Borsato¹,

MacDonald²

2020

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“…Nesta seção estudaremos as relações das medidas de equilíbrio e as medidas DLR para o espaço shift de Markov com alfabeto enumerável. Esse problema já foi abordado por G. Keller, B. Kimura e S. Muir nos trabalhos [Kel,Ki,Mu1]…”

Section: Equivalência Entre Medidas Dlr E De Equilíbriounclassified

Medidas DLR e transições de fase tipo volume em shifts de Markov com alfabeto enumerável

Beltrán¹,

Proença²

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USP, pelo seu acolhimento. Ao CAPES\CNPq, pelo seu apoio financeiro o qual foi de grande ajuda durante a minha permanência no Brasil. Aos meus pais Elmer e Nancy pela educação que me deram. Aos meus irmãos Arnold, Karin e Shaarón pela sua confiança. A todos os meus tios por seu apoio, vocês sempre me ajudaram quando precisei, sempre serei grato a vocês. À minha avó Maria e aos meus avôs Bernardo e Walter por todo seu amor e carinho. A meu orientador Prof. Dr. Rodrigo Bissacot pelo acompanhamento, disponibilidade, ensinamentos durante o desenvolvimento desta tese e por seus conselhos para minha formação como pesquisador. Sempre lembrarei dos seus ensinamentos em meus trabalhos futuros. Agradeço também sua amizade e a revisão da língua portuguesa. Desde já sou grato a ele. Ao Prof. Ricardo Freire pelo seu argumento da prova do item iii.) da Proposição 104. A todos meus colegas do grupo de pesquisa do Prof. Rodrigo Bissacot por sua amizade e os conhecimentos compartilhados nos seminários do grupo. Em especial para Eric Endo por as muitas reuniões e discussões dos resultados desta tese, assim como, a ajuda ao escrever o artigo. A todos meus amigos pelo seu apoio no momento certo, em especial para Cristian, Edu, Julio, Mariela e Reynaldo. A todas as pessoas que não foram nomeadas mas fizeram parte da minha vida ao longo deste trabalho. vii Resumo ELMER, R. BELTRAN. Medidas DLR e Transições de Fase Tipo Volume em shifts de Markov com Alfabeto Enumerável. 2019. 79 f. Tese Doutorado -Instituto de matemática e estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. Introduzimos a extensão natural da definição de medida DLR para medidas sigma-finitas em shift de Markov com alfabeto enumerável. Provamos que o conjunto de medidas DLR contém o conjunto de medidas conformes associadas aos potenciais satisfazendo a condição de Walters. No caso BIP ou quando o potencial normaliza o operador de Ruelle, provamos que as noções de DLR e conformes coincidem. No shift de renewal obtemos uma caracterização de quando as medidas conformes são infinitas, estudamos o problema para descrever os casos em que o conjunto de medidas conformes pula de medidas finitas para infinitas quando consideramos altas e baixas temperaturas, respectivamente. Palavras-chaves: medidas conformes, medidas DLR σ−finita, shift de Markov, transições de fase tipo volume, shift de renewal. ix Abstract ELMER, R. BELTRAN.We introduce the natural extension of the definition of DLR measure for sigma-finite measures on countable Markov shifts. We prove that the set of DLR measures contains the set of conformal measures associated to Walters potentials. In the BIP case or when the potential normalizes the Ruelle's operator we prove that the notions of DLR and conformal coincide. On renewal type shifts we obtained a characterization when the conformal measures are infinite, we study the problem to describe the cases when the set of conformal measures jumps from finite to infinite measures when we consider high and low temperatures, respectively.

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Thermodynamic Formalism for Amenable Groups and Countable State Spaces

Beltrán,

Bissacot,

Borsato

et al. 2024

J. Inst. Math. Jussieu

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Given the full shift over a countable state space on a countable amenable group, we develop its thermodynamic formalism. First, we introduce the concept of pressure and, using tiling techniques, prove its existence and further properties, such as an infimum rule. Next, we extend the definitions of different notions of Gibbs measures and prove their existence and equivalence, given some regularity and normalization criteria on the potential. Finally, we provide a family of potentials that nontrivially satisfy the conditions for having this equivalence and a nonempty range of inverse temperatures where uniqueness holds.

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Gibbs measures on subshifts

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Conformal measures and the Dobrushin-Lanford-Ruelle equations

Conformal measures and the Dobrushin-Lanford-Ruelle equations

Medidas DLR e transições de fase tipo volume em shifts de Markov com alfabeto enumerável

Thermodynamic Formalism for Amenable Groups and Countable State Spaces

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