Hauteur asymptotique des points de Heegner

Abstract

Abstract. Geometric intuition suggests that the Néron-Tate height of Heegner points on a rational elliptic curve E should be asymptotically governed by the degree of its modular parametrisation. In this paper, we show that this geometric intuition asymptotically holds on average over a subset of discriminants. We also study the asymptotic behaviour of traces of Heegner points on average over a subset of discriminants and find a difference according to the rank of the elliptic curve. By the Gross-Zagier formulae, such heights are related to the special value at the critical point for either the derivative of the Rankin-Selberg convolution of E with a certain weight one theta series attached to the principal ideal class of an imaginary quadratic field or the twisted L-function of E by a quadratic Dirichlet character. Asymptotic formulae for the first moments associated with these L-series and L-functions are proved, and experimental results are discussed. The appendix contains some conjectural applications of our results to the problem of the discretisation of odd quadratic twists of elliptic curves.Reçu par la rédaction le 2 novembre, 2005; revu le 13 juin, 2006. Classification (AMS) par sujet: Primary: 11G50; secondary: 11M41.

Comportement asympotique des hauteurs des points de Heegner

“…Une autre écriture possible pour la constante C P est 1.3. Idée de la preuve du Théorème A. Les premières étapes sont classiques et ont été effectuées dans [13]. On exprime L d (E, 1) comme un polynôme de Dirichlet tronqué à l'aide de l'équation fonctionnelle approchée.…”

“…On exprime L d (E, 1) comme un polynôme de Dirichlet tronqué à l'aide de l'équation fonctionnelle approchée. Un terme «diagonal» provenant des entiers n qui sont des carrés fournit le terme principal αY log Y + βY , avec α et β comme données pré-cedemment (noté TP 1 dans [13]). La contribution «hors-diagonale» r d (n), voir la définition (2.3), correspond aux entiers v qui sont différents de 0.…”

“…Cette valeur, qui ne dépend pas du choix du point de Heegner de discriminant d (voir [8]), est un invariant arithmé-tique du couple (E, d) qui semble très irrégulier, comme le suggère la figure 1 page 1407 de [13].…”

“…Le but de cet article, est de poursuivre l'étude quantitative de h H d (P d ) en moyenne sur les discriminants d dans D. De façon plus précise, il s'agit, comme dans [13], d'étudier le comportement asymptotique de la somme La plupart des notations de cet article sont compatibles avec celles de [13]. L'approche analytique naturelle de cette étude repose sur la formule de Gross-Zagier ( [8, Théorème 6.1, Section I Page 230])…”

“…La définition de la série L apparaissant dans le membre de gauche est donnée dans la section 2. Les auteurs de [13] [7]. …”